与矩阵加减运算等效，数组之一也可为标量。
基本数组（元素群）运算（续）
2. 数组乘 () 运算 AB
A，B两数组必须有相同的行和列，两数组相应元素相乘。 sA 或 As 标量与数组相乘，标量s分别与数组A每个元素相乘，与 sA 或 As 相同。 例16：>>A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]; >>A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ];
2.5.3 基本数组（元素群）运算

数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号 表示的线性代数矩阵运算不同。 1. 数组加减（+ ，-）运算规则： 相加、减的两数组必须有相同的行和列，两数组对应元素相 加减。 MATLAB允许参与运算的两数组之一是标量，标量与数组的所 有元素分别进行加减操作 A+B A- B
flip
英 [flɪp]
美 [flɪp]
vt. 轻弹，轻击;按（开关）;快速翻转;急挥 vi.发疯;急动;捻;蹦蹦跳跳 n. 空翻;浏览;（射击时枪管的）跳跃;轻抛 adj.[口语]无礼的，轻率的，油腔滑调的;冒 失的，鲁莽的
Left right up down
2.4矩阵分析
2.4.2 矩阵的逆矩阵
例：>>A = [ 1 2 3 ]; B = [ 4 5 6 ]; >>X = A.^2 X= 1.00 4.00 9.00 >> Y=A.^0.5 Y= 1.0000 1.4142 1.7321 Y= 81.00 3^4 >>Z = A.^B Z= 1.00 1^4
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
产生均值为0，方差为1的正态分布随机数矩阵
获取矩阵的对角线元素，也可生成对角矩阵 产生下三角矩阵 产生上三角矩阵 产生帕斯卡矩阵 产生幻方阵
2.5.2 基本矩阵运算
运算命令 说 明
A’
A^n A*B A/B A\B A+B A-B
矩阵转置
矩阵求幂，n可以为任意实数 矩阵相乘 矩阵右除（一般的除法，A/B=A÷B） 矩阵左除（一种倒置的除法，A\B=B÷A） 矩阵相加 矩阵相减
定义：一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在 一个n阶方阵B，使得：
则称B是A的一个逆矩阵。A的逆矩阵记作A-1。
调用函数B=inv（A）
2.4矩阵分析
2.4.2 矩阵的逆矩阵
2.4矩阵分析
2.4.3 方阵的行列式
定义：求方阵A所对应的行列式的值的函数：
B=det（A)
2.5 基本运算
课本28页例题2.29
2.4矩阵分析
2.4.1 矩阵的结构变换
1.矩阵的转置 行列互换操作，运算符是（ ’） 2.矩阵的旋转 rot90（A，k）：将矩阵A按逆时针方向旋转90度的k倍 3矩阵的左右翻转 fliplr（A）实现矩阵的左右翻转 4.矩阵的上下翻转 flipud（A）实现矩阵的上下翻转
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵
P
i 令 i , i 1,2,3, i
得
1 1 2 2
2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3
k1 ( y1 , y 2 ,, y n ) k2 k n y1 y2 , yn
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也就是要使C T AC 成为对角矩阵.
由于对任意的实对称矩 阵A, 总有正交矩阵P , 使 P 1 AP ,即 P T AP .把此结论应用于二次 型, 有
2.3.4 秩
1.矩阵和向量组的秩
通过调用函数rank（A）求矩阵的秩。调用格式 为： k=rank(A) 返回矩阵A的行（或列）向量中线性无关个数。 k=rank（A，tol） 其中tol为给定误差
课本28页例题2.28
2.3.4 秩
1.矩阵的秩和向量组的相关性
若有 m×n 矩阵 A
如果 如果 相关 如果 如果 r(A) = m < n，则行向量组无关，列向量组相关 r(A) = k < min(m，n)，则行向量组、列向量组都 r(A) = n < m，则列向量组无关，行向量组相关 r(A) = m = n ，则行向量组、列向量组都无关
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从而得特征值
1 9, 2 3 18.
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 2 ( 2,1,0)T , 3 ( 2,0,1)T .
3. 数组除(/ ，\ )运算 C=A./B —— 数组右除 C(i,j) = A(i,j)/B(i,j) C=A.\B —— 数组左除 C(i,j) = B(i,j)/A(i,j) A./ B=B.\ A A./s = s.\A — A的元素分别被标量s除 s./A = A.\s — 标量s分别被A的元素除 例：>>A = [ 1 2 3 ]; >>B = [ 4 5 6 ]; >>C1 = A./B C1 = 0.2500 0.4000 0.5000 >>C2 = B.\A C2 = 0.2500 0.4000 0.5000 >>C3 = A.\B C3 = 4.0000 2.5000 2.0000
>>B = [ >>B = [ 2 4 6; 1 3 5; 7 9 10 ]; >>A*B >>A.*B ans = ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90 2 4 6; 1 3 5; 7 9 10 ];
25 55 85
37 85 133
46 109 172
基本数组（元素群）运算（续）
>> A = [ 1 2 3 ]; B = [ 4 5 6 ]; >> A/B ans = 0.4156 >> A\B ans = 0 0 0 0 0 0 1.3333 1.6667 2.0000
基本数组（元素群）运算（续）
4. 数组乘方（.^） A.^n —— A的每个元素自乘n次 A.^p —— 对A各元素分别求非整数幂 p.^A —— 以p为底,分别以A的元素为指数求幂值 C = A.^B —— 元素对元素的幂 >>C = 3.^B C(i,j) = A(i,j) .^ B(i,j)2．求特征向量取
得正交向量组
2 , 3 2, 1 1, 2 2 , 3 3 2 , 2
1 (1 2,1,1) , 2 ( 2,1,0) , T . ( 2 5 , 4 5 , 1 ) 3
T T
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3．将特征向量正交化
例：求解方程组
3x1 + x2 - x3 = 3.6 x1 + 2x2 + 4x3 = 2.1 -x1 + 4x2 + 5x3 = -1.4 >> A = [ 3 1 -1 ; 1 2 4 ; -1 4 5 ]; >> B = [ 3.6 ; 2.1 ; -1.4 ]; >> x = A\B x= 1.4818 -0.4606 0.3848
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
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例1
将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
inv
det rank eig svd norm
矩阵求逆，注意不是所有的矩阵都有逆矩阵
求方阵的行列式 求矩阵的秩 求矩阵的特征向量和特征值 对矩阵进行奇异值分解 求矩阵的范数
基本矩阵运算（续）
3. 矩阵除运算及线性方程组的解
在线性代数中没有矩阵的除运算，只有矩阵逆 的运算，在MATLAB中有两种矩阵除运算。 A/B — 矩阵右除，相当于 Ainv(B) A\B — 矩阵左除，相当于 inv(A)B 因此，x = A\B 是线性方程组Ax=B的解。
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
例题见课本27页2.27
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考研大纲要求：
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2.3.4 秩


秩：矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线 性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的 纵列的极大数。通常表示为r(A)，rank（A）。 在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独 立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性 无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把 矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这 些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组 中所含向量的个数。
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用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
2 45 4 45 . 5 45
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所以
1 3 2 5 P 2 3 1 5 2 3 0