考点29 基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29C.3D. 223 【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A.0B.1C. 94D.3【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212xyz+-，进而再利用基本不等式求出212xyz+-的最值.【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.98 C.2 D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值.【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可.【解析】由题()4(0,0)af x x x a x=+>>，根据基本不等式4a x x +≥4ax x=时取等号，而由题知当3x =时取得最小值，即36a =. 【答案】366.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b14||4||≥+=+a a a a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ， 若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4【答案】347. （2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值. 【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b14||4||≥+=+a a a a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ， 若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时，2=-a . 【答案】-28.（2013·上海高考文科·T13）设常数a ＞0.若1x 92+≥+a xa 对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 . 【解析】 考查均值不等式的应用，5116929)(,022≥⇒+≥=+≥+=>a a a x a x x a x x f x 时由题意知，当【答案】 ),51[∞9. （2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).【解题指南】设出矩形的高y ，由题目已知列出x ，y 的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.【解析】设矩形高为y , 由三角形相似得:40,40,0,0,404040<<>>-=y x y x y x 且 40020,240取最大值时，矩形的面积仅当xy s y x xy y x ===≥+=⇒.【答案】20.2014年全国高考理科数学试题：不等式选讲一、填空题1．（2014年广州数学（理）试题）不等式521≥++-x x 的解集为 。

2．（2014年高考陕西卷（理））(不等式选做题)设,,,a b mn R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则的最小值为___________________3．（2014年高考江西卷（理））对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44．（2014年高考安徽卷（理）若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或5 C. 1-或4- D.4-或85.（2014年高考湖南卷（理）若关于x 的不等式32<-ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3135|x x ，则a=_________________6.（2014年高考重庆卷（理）设函数f(x)＝｜x －1｜，则不等式1)(<x f 的解集为_________________.二、解答题1．（2014年高考新课标2（理））（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2. （2014年辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲设函数1816)(,112)(2+-=-+-=x x x g x x x f ，记1)(≤x f 的解集为M ，4)(≤x g 的解集为N. （1）求M ； （2）当N M x ⋂∈时，证明：[]41)()(22≤+x f x x f x3 ．（2014年福建数学（理）试题（纯WORD 版））选修4 -5:不等式选讲 已知定义在 R 上的函数()|1||2|f x x x =++- 的最小值为 a. (Ⅰ) 求 a 的值;(Ⅱ) 若 p, q, r 是正实数, 且满足 p+q+r = a, 求证:2223p q r ++≥.4．（2014年高考新课标1（理））（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11ab a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值1.（2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______.2.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值1.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．2. (2011年高考山东卷理科4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞3.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

4. (2011年高考天津卷理科13)已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.5【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()2f x x a x =++-（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.6．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 四：利用数轴法求解1.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .2.若不等式24≥++-a x x 对所有的x 都恒成立，则a 的取值范围是 3．（2009辽宁选作24） 设函数.|||1|)(a x x x f -+-= （I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的取值范围。