2015江苏省高考数学19题别解山石2015江苏省高考数学19题：已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。

（1）试讨论)(x f 的单调性；（II ）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值。

（1）略。

（II ）解法一：由（1）知，函数)(x h 的两个极值为a c f -=)0(，a c a a f -+=-3274)32( 因为函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞记=)(a h a c a -+3274 ①当∈a )23,1(时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-0,32a ，从而有0)0(<f ，且0)32(>-a f ，即a c <且02743>-+a c a 在∈a )23,1(恒成立。

因∈a )23,1(=')(a h 01942<-a ，故函数)(a h 在)23,1(上为减函数，有)23()(h a h ≥,因0)(>a h 在∈a )23,1(恒成立，得0)23(≥h ，解得1≥c ，又a c <在∈a )23,1(恒成立，得1≤c ，所以1=c 。

②当∈a ),23(+∞时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-0,32a ，从而有0)0(<f ，且0)32(>-a f ，即a c <且02743>-+a c a 在∈a ),23(+∞恒成立。

因∈a ),23(+∞=')(a h 01942>-a ，故函数)(a h 在),23(+∞上为增函数，有)23()(h a h >,因0)(>a h 在∈a ),23(+∞恒成立，得0)23(≥h ，解得1≥c ，又a c <在∈a ),23(+∞恒成立，得23≤c ，所以231≤≤c 。

③当∈a )3,(--∞时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为()0,∞-，⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,32a ，函数)(x f 递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0a ，从而有0)0(>f ，且0)32(<-a f ，即a c >且02743<-+a c a 在∈a )3,(--∞恒成立。

因∈a )3,(--∞=')(a h 01942>-a ，故函数)(a h 在)3,(--∞上为增函数，有)3()(h a h <，因0)(<a h 在∈a )3,(--∞恒成立，得0)3(≤h ，解得1≤c ，又a c >在∈a )3,(--∞恒成立，得3-≥c ，所以13≤≤-c 。

综上，1=c解法二：因为函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞可知1=a ，23，3-时，函数)(x f 没有三个不同的零点。

（1）当=a 23时，2323)(23-++=c x x x f 由（1）知，函数)(x f 递增区间为()1,-∞-，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为()0,1-，函数)(x f 没有三个不同的零点。

从而有0)0(≥f ，或0)1(≤-f ，得1≤c 或23≥c（2）当=a 1时，1)(23-++=c x x x f 由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-0,32，因函数)(x f 没有三个不同的零点。

从而有0)0(≥f ，或0)32(≤-f ，得1≥c 或2723≤c（3）当=a -3时，33)(23++-=c x x x f 由（1）知，函数)(x f 递增区间为()0,∞-，()+∞,2，函数)(x f 递减区间为()2,0，因函数)(x f 没有三个不同的零点。

从而有0)0(≤f ，或0)2(≥f ，得1≥c 或3-≤c综上当1=a ，23，3-时，函数)(x f 没有三个不同的零点。

所以得1=c 或3-≤c 或23≥c 下面证明当3-≤c 或23≥c 时，不合题意。

若23≥c 时，当∈a )23,1(，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-0,32a ，有)(x f 有极小值a c f -=)0(，因23≥c 时，∈a )23,1(，有0)0(>f ，函数)(x f 有一个零点。

从而23≥c 不合题意。

若3-≤c 时，当∈a )23,1(，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-0,32a ，有)(x f 有极大值)32(a f -，记=)(a h )32(a f -=a c a -+3274，因∈a )23,1(，有=')(a h 01942<-a ，故函数)(a h 在)23,1(上为减函数，有0)1()(<<h a h ，函数)(x f 有一个零点。

从而3-≤c 不合题意。

当1=c 时，函数()()a x a x x a ax x x f -+-++=-++=1)1(11)(223设()a x a x x g -+-+=1)1()(2，()01)1(2=-+-+a x a x 有两个异于-1的不等实根，所以0>∆且(1)0g -≠，解得a ∈),23()23,1()3,(+∞--∞综上，函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ 时，1=c解法三：因为函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞转化为方程23ax a c x -=+ 有三个不同的解问题。

设函数c x x h +=3)(，函数2)(ax a x g -=即函数)(x h y =，函数)(x g y =图像在a ∈),23()23,1()3,(+∞--∞ 有三个不同交点问题。

函数c x x h +=3)(单调递增，图像过（0，c ）（1）当0<a 时，函数2)(ax a x g -=图像开口向上，过点（0，由函数)(x f 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是2(2)3,(--∞ 析知：当3-=a 时，函数c x x h +=3)(与函数)1(3)(2x x g --=图像相切。

设两个函数的切点为),(00y x 可得02063x x =，解得00=x ，或20=x 。

当00=x 时，)0()0(g h =解得3-=c ；当20=x 时，解得1=c 。

所以1=c 或3-=c（2）当0>a 时，函数2)(ax a x g -=图像开口向下，过点（0，a ）由函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是2(2)3,(--∞析知：当23=a 、1=a 时，函数c x x h +=3)(，函数2)(ax a x g -=图像相切 ①当23=a 时，函数c x x h +=3)(与函数)1(23)(2x x g -=图像相切。

设两个函数的切点为),(00y x 可得02033x x -=，解得00=x ，或10-=x 。

当00=x 时，)0()0(g h =解得23=c ；当10-=x 时，解得1=c 。

所以1=c 或23=c②当1=a 时，函数c x x h +=3)(与函数)1()(2x x g -=图像相切。

设两个函数的切点为),(00y x 可得02023x x -=，解得00=x ，或320-=x 。

当00=x 时，)0()0(g h =解得1=c ；当320-=x 时，解得2723=c 。

所以1=c 或2723=c综上当23=a ，1、-3时，函数)(x h y =，函数)(x g y =图像均相切时，1=c下面证明当1=c 时符合题意。

函数()()a x a x x a ax x x f -+-++=-++=1)1(11)(223 设()a x a x x g -+-+=1)1()(2 ，()01)1(2=-+-+a x a x 有两个异于-1的不等实根，所以0>∆且(1)0g -≠，解得a ∈),23()23,1()3,(+∞--∞综上：函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ 。

则1=c。