第 1 页 共 16 页 南京市2015届高三年级学情调研卷 数 学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为 ▲ ． 2．已知复数z＝11＋i，其中i是虚数单位，则|z|＝ ▲ ． 3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 ▲ 名学生． 4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加 学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ ． 5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a， 则实数λ＝ ▲ ． 6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是 ▲ ．

7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程 为y＝±3x，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 ▲ ． 9．设f(x)＝x2－3x＋a．若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为 ▲ ． 10．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB＝2sinC， 则cosA＝ ▲ ．

11．若f(x)＝ax， x≥1，－x＋3a，x＜1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 ▲ ．

12．记数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，则Sn＝ ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则

|OA→＋OB→|的最大值是 ▲ ． 14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围

S←0 S←S＋k2

开始

输出S 结束

Y N k＞5

（第6题图）

k←1 k←k＋2 第 2 页 共 16 页

为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)． （1）求φ的值； （2）若f(α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．

16．（本小题满分14分） 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点． （1）求证：MN∥平面AA1C1C； （2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB平面CMN．

17．（本小题满分14分） 已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21， S4＋b4＝30． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

A1

A B C B1 C1 M

N

（第16题图） 第 3 页 共 16 页

（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和． 18．（本小题满分16分） 给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)． （1）求实数a，b的值； （2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1

所截得的弦长为22，求实数m的值．

19．（本小题满分16分） 如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B第 4 页 共 16 页

点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 20．（本小题满分16分） 已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，a∈R． （1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程； （2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数； （3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．

南京市2015届高三年级学情调研卷 数学附加题 2014.09

注意事项：

· A M

N P

（第19题图） α

C

B 第 5 页 共 16 页 1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．

定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲 如图，PA是圆O的切线，A为切点，PO与圆O交于点B、C，AQOP，垂足为Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的长．

B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A＝2b13属于特征值的一个特征向量为α＝ 1－1 ． （1）求实数b，的值； （2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程．

C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝3＋32t，y＝2＋12t(t为参数 )，圆C的参数方程为x＝3＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

D．选修4—5：不等式选讲 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．

C A P O Q

（第21题A图） B 第 6 页 共 16 页

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端

点的点，且CE→＝λCC1→． （1） 当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围； （2） 若λ＝25，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．

23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表： 结果 奖励 1红1白 10元 1红1黑 5元 2黑 2元 1白1黑 不获奖

（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．

（第22题图） A B

C D E A1

B1

C1

D

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2015届高三年级学情调研卷 数学参考答案及评分标准 2014.09 说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．π 2．22 3．32 4．12 5．5 6．35 7．2 8．3 9．(0，94] 10．24 11．[12，＋∞) 12．2－2n－1 13．8 14．(0，1) 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分） 解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)， 所以f(π2)＝2sin(π＋φ)＝－2， 即sinφ＝1． „„„„„„„„„„„„„„„„„ 4分 因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． „„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分 （2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． „„„„„„„„„„„„„„„„ 8分 因为f(α2)＝65，所以cosα＝35． 又因为－π2＜α＜0，所以sinα＝－45． „„„„„„„„„„„„„„ 10分 所以sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝－725．„„„„„„„„ 12分 从而sin(2α－π6)＝sin2αcosπ6－cos2αsinπ6＝7－24350． „„„„„„„„ 14分