（ log pi pl ）
引理 1： 若 p1 2 , p 2 3 ， … p j …, pi ,为连续素数， 且 p j | n ， 则 n≠o (mod p j ) 的 数的个数
i
y i (n) n (1
j 1
1 ). pj
证明：I.当 i=1 时, ∵
p1 =2 , p1 |n y i ( n) n n 1 1 n (1 ) n (1 ) 2 2 p1
sk
2 ( p k21 p k ) (1
2
2
j 1
1 ) pj
(1)
又 ∵ ∴
2 p3 5 3 p 4 1 3 72 1
1≤k<4 时， s k k
即
p sk p k
k≥4 时， s k k 即
p sk p k
随着 k 的增大， （ s k k ）波动地增大，当 n→+∞时， （ s k k ）达到最大值。 调整每个区间的 s k 值，理论上就可以得到不大于 n 的素数个数公式 π(n)=
素数连乘积分布
李联忠
（营山中学 四川营山 637700） 摘要：正整数 n 处于相邻两个素数平方间，则有素数连乘积分布公式（S）和公式（L） (S)
sk 2 1 2 π(n)= ( p k 1 p k ) (1 ) O ( n ) （ log pk p s k ） pj k 1 j 1 i
而是
pi21 pi2 t 1 1 (1 ) pi pu u 1
这不是 p 是否整除 n 的问题，而是 n 受 p k n＜p k 1 限制，而使 p k 到
2 2
p k21 之间的数 pk
没有达到有 p j …, p k 1 的倍数的范围， 前面证明引理 1 时， 去 p1 2 , p 2 3 ， … p j …, p k 1 的倍数后，再去 p k 的倍数，减去的是
pi21 p i2 t 1 1 k 1 1 (1 ) (1 ) pi pu j t pj u 1
而 n 受 pi2 n＜p i21 限制，实际是
pi21 pi2 t 1 1 (1 ) pi pu u 1
∵
pi21 pi2 t 1 p 2 p i2 t 1 1 1 k 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) > i 1 pi pu j t pj pi pu u 1 u 1
n 个，即是 p k 1 的 p k 1
1 、2 、3 、… 、
n p k 1
这
n n 个倍数。而这 个数在去了 p1 , p 2 , , p k 的倍数后，据归纳假设还余 p k 1 p k 1
k n 1 (1 ) p k 1 j 1 pj k k 1 n 1 ) (1 ) pj p k 1 j 1 pj k 1 1 1 1 ) (1 ) n (1 ) pj p k 1 pj j 1
1
∴
k ln x ( x)
k 1
1
2
∴
1 x 1 1 ( x ) (1 ) = (1 ) (ln x ( x)) p k 1 k p x p px
根据 Mertens 定理 3
1 e 1 (1 ) O( 2 ) p ln x ln x p x
（ log pi pl ）
证明：
2 2 2 2 ∵ n＝3+(8－3)+(24－8)+(48－24)+…+ ( p k 1 p k ) +…+ ( p i 1 p i )
3
∴ 根据引理 1，区间［ p k , p k 1 ）的素数个数可近似表示为
k
2 ( p k21 p k ) (1
1 x 1 ) ≤ (2) =0.75 p k 1 k
∴ 即
e ≤ ( x ) (1
e ≤ ( x ) ≤0.75
引理 2 证毕。 下面证明素数连乘积分布定理 素数连乘积分布定理： 若 p1 2 , p 2 3 ， … p k …, pi , pi 1 为连续素数，pi2 n＜p i21 则不大于 n 的素数个数公式为
2
2
j 1
1 ) pj
p k21 因为 p k 到 之间的数，去 p1 2 , p 2 3 ， pu pt … p j …, p k 1 的倍数后， pk
余下的数的个数大于
p2 1 2 ，这不是因为 p∤n 导致的，而是因为当 p j = pt > 3 p k 1 时， p k 到 k 1 pk pk
l
（L）
π(n)= n
(1 p
j 1
1
j
) O( ( n ))
（ log pi pl ）
关键词：数论；素数；公式 中图分类号：015 文献标识码：
文章编号：
素数连乘积分布定理： 若 p1 2 , p 2 3 ， … p k …, pi , pi 1 为连续素数，pi2 n＜p i21 则不大于 n 的素数个数公式为
=e ∴

( x ) 是波动减小的，波幅也减小。
1 x 1 ( x ) ( 1 p ) lim lim x x p x k 1 k
=
∵
lim (
x
px
e 1 O ( 2 )) (ln x ( x )) = e ln x ln x
之间的数没有 p j 的倍数，所以在去掉 p1 2 , p 2 3 ， pu pt … p j … p k 1 ,的倍数后， 余下数中， p k 的倍数个数不是
pi21 p i2 t 1 1 k 1 1 (1 ) (1 ) pi pu j t pj u 1
l
（L）
π(n)= n
(1 p
j 1
1
j
) O ( ( n ))
（ log pi pl ）
由分析不难得到公式（S）和公式（L）中相应量的关系：
i
si l
下面说明(1)式、 （S）式、 （L）式，与实际素数个数的误差。 设(1)式、 （S）式、 （L）式，与实际素数个数的误差为 w(k), w(S)、w(L)，则
sk 2 1 2 （S） π(n)= ( p k 1 p k ) (1 ) O ( ( n )) （ log pk p s k ） pj k 1 j 1 i
或
l
（L） 先证引理。
π(n)= n
(1 p
j 1
1
j
) O( ( n ))
sk 2 1 2 （S） π(n)= ( p k 1 p k ) (1 ) O ( ( n )) （ log pk p s k ） pj k 1 j 1 i
或
l
（L）
π(n)= n
(1 p
j 1
1
j
) O( ( n ))
所以，少减了，为了与引理 1 有相吻合的表达式，也避免向后演绎导致麻烦，采取让
p k 后的去素数倍数因子 (1
1 1 1 ) 、 (1 ) 、…、 (1 ) 提前进入，来平衡少减的 p sk p k 1 pk 2
4
量。所以，区间［ p k , p k 1 ）有较精确的素数个数表达式
∴
y k 1 (n) n (1
j 1 k
n (1
j 1
∴
i=k+1 时，结论
k 1
y k 1 (n) n (1
j 1
1 ) pj
成立。
由 I、Ⅱ可得，当 i 为任何正整数，结论都成立。 所以， 若 p1 2 , p 2 3 ， … p j …, pi ,为连续素数，且 p j | n ， 则 n≠o (mod p j )
l
w(L)= | n
(1 p
j 1
1
j
) ( n) |
5
（上式中的π［ p k , p k 1 ）表示区间［ p k , p k 1 ）的素数个数）
2 2 ［ pk , p k21 ) ［ pk , p k21 ) （1）式误差 w(k)应小于 的一半。下面计算 。 psk psk
∴
p k21 p k2 ( p k ln p k ) 2 p k2 2 p k ln p k ln 2 p k
2 ［ pk , p k21 ) p 2 p k2 2 p k ln p k ln 2 p k ln p k k 1 1 2 2 pk pk p k ln p k p k ln p k
2
2
2
2
根据素数定理
( x)
∴
2
x ln x
2
π［ p k , p k 1 ）
p k21 p k2 2 ln p k
∴ 设
2 ［ pk , p k21 ) p k21 p k2 pk p k ln p k2
p k 1 p k m ，根据素数定理可得 p k 1 p k m p k ln p k
sk
2 2 w(k)= | ( p k 1 p k )
(1 p
j 1
1
j
) －π［ p k2 , p k21 )|
w(S)=|
sk 2 1 2 ( p p ) ) ( n) | k 1 k (1 p k 1 j 1 j i
i
的数的个数 y i ( n) n 引理 1 证毕。