2018吉林中考数学总复习动点问题因动点产生的等腰三角形问题练习年 班 姓名 成绩： 1•如图1,在Rt A ABC 中，/ A = 90 ° , AB = 6, AC = 8，点D 为边BC 的中点，DE 丄BC 交边AC 于点E, 点P 为射线AB 上的一动点，点 Q 为边AC 上的一动点，且/ PDQ = 90°. (1) (2) (3) tan“PD=^ =空」(3)如图 5,如图 2，在 Rt A PDQ 中，PD DM 4tan" = ^」在 Rt A ABC 中， CA 4 .所以/ QPD =/ C.由/ PDQ = 90°,/ CDE = 90°,可得/ PDF =Z CDQ. 因此△ PDF ^A CDQ.当厶PDF 是等腰三角形时，△ ①如图5,当CQ = CD = 5时， CDQ 也是等腰三角形.QN = CQ — CN = 5 — 4 = 1 (如图 3 所示).图1 解：(1 )在 Rt A ABC 中, 求ED EC 的长； 若BP = 2,求CQ 的长； 记线段PQ 与线段DE 的交点为巳若厶PDF 为等腰三角形，求 BP 的长. 备用图 AB = 6, AC = 8，所以 BC = 10 . PM =4QN 上此时3 3 •所以BP = BM - PM②如图6,当QC = QD 时，由cosCCH CQ可得CQ号丰詈3 15 25ED=CD tan= " EC 在 Rt A CDE 中，CD = 5,所以 4 4, 44』所以QN = CN- CQ =8 8 (如图2所示).(2)如图2,过点 D 作DM 丄AB , DN 丄AC ,垂足分别为 M 、N ,那么 DM 、DN 是 △ ABC 的两条中位线， DM = 4, DN = 3. 由/ PDQ = 90°,/ MDN = 90°，可得/ 因此△ PDM s^ QDN . PDM = Z QDN . PM 此时= 4QN3 6 •所以7 25 BP 二 BM PM = 3 -6 6DFP >Z DQP >Z DPQ (如图 5,图 6 所示).PM 所以QNDM 4DN _33 QN PM .所以4PM= 4QN 3图2 ①如图3，当BP = 2, 图3P 在BM 上时，PM = 1.DP = DF 的情况.这是因为/③不存在 3 3 QN PM - 此时 4 4 .所以 3 19CQ 二CN QN =4 ■ 4 4图52•如图1，抛物线y = ax2+ bx + c 经过A(— 1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P 是直线I 上的一个动点，当△ PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；(3) 在直线I 上是否存在点M ，使△ MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 坐标；若不存在，请说明理由.②如图4，当BP = 2, P 在MB 的延长线上时， PM = 5.3 1515 31QN =3PM 亠 CQ 二CN QN=4 15 二31此时 4 4 •所以 44［键入文字］(2)因为抛物线与x 轴交于0、A(4, 0),设抛物线的解析式为y = ax(x — 4),a」代入点 B (-2,-2 3), -2、、3= -2a(-6).解得6f~n — x图i 解：(1)因为抛物线与 x 轴交于A(— 1,0)、B(3, 0)两点，设y = a(x + 1)(x — 3), 代入点C(0 ,3),得一 3a =3.解得a =— 1. 所以抛物线的函数关系式是 y =— (x + 1)(x — 3)=— x2 + 2x + 3. (2) 如图2,抛物线的对称轴是直线 x = 1. 当点P 落在线段BC 上时，PA + PC 最小，△ PAC 的周长最小. 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为H . BH PH 由 BO CO , B0= CO,得 PH = BH = 2. 所以点P 的坐标为(1,2). 图2 (3) 点 M 的坐标为(1, 1)、(1, -6)、(1,一6)或(1,0).3•如图1，点A 在x 轴上，0A = 4，将线段0A 绕点0顺时针旋转 (1) 求点B 的坐标； (2) 求经过A 、0、B 的抛物线的解析式； (3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P ,使得以点P 、0、B为顶点的三角形是等腰三角形？若 存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 所以抛物线的解析式为y 「^X (X_4)=」x2^X6 6 3(3)抛物线的对称轴是直线x = 2,设点P 的坐标为(2, y).①当 0P = 0B = 4 时，0P2= 16 .所以 4+y2 = 16 .解得 y「-2 3 .当P 在(2,厶3)时，B 、0、P 三点共线(如图 2).②当 BP = B0= 4 时，BP2= 16.所以 4 (y 2J)' =16 .解得 y1 = y 2八2・ 3 .③当 PB = P0时，PB2= P02.所以4 (y 2 §)=2 y .解得 y=-2込.(2,一厶3)，如图2所示.4一一一 y=j4•如图1，已知一次函数y =— x + 7与正比例函数 3的图象交于点 A ,且与x 轴交于点B .(1)求点A 和点B 的坐标； 图1 解：(1)如图2,过点B 作BC 丄y 轴，垂足为 C.在 Rt A 0BC 中，/ B0C = 30°, 0B = 4,所以 BC = 2,0C =2 3.所以点B 的坐标为(一2, 一2“3).(2)过点A 作AC 丄y 轴于点C,过点B 作直线l//y 轴.动点P 从点0出 发，以每秒1个单位长的速度，沿 0— C —A 的路线向点A 运动；同时直 线I 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线I 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段A0于点Q .当点P 到达点A 时，点P 和直线I 都停止运动.在运动过程中，设动点 P 运动的时间为t 秒.① 当t 为何值时，以 A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为 8? ②是否存在以 A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由..226 t二43y - -x 7, i 4 w=：x,解：（1）解方程组.3x =3,y "•所以点 A 的坐标是（3, 4）. 令y=「x ・7=0，得x =7 •所以点B 的坐标是（7, 0). （2）①如图 2，当 P 在 0C 上运动 时，0< t v 4 由梯形 CORA- 5 A CP-2 PO R8得1 1 1 —（3+7 —t ）4 4 （4 -t ） t （7 卜）=82 ' 2 i ' 2 i .整理， 412262t-8t •12 = 0 .解得 t = 2 或 t = 6 (舍去).如图2 图3 ②我们先讨论 P 在OC 上运动时的情形，0W t v 4. 图3,当P 在CA 上运动时，△ APR 的最大面积为6. 因此，当t = 2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为 &图4 5•如图1，在矩形ABCD 中，AB = m （ m 是大于0的常数），BC = 8, E 为线段BC 上的动点（不与 B 、C 重合）.连结DE,作EF 丄DE , EF 与射线BA 交于点F ,设CE = x , BF = y . （1） （2） 如图 1，在△ AOB 中，/ B = 45°,/ AOB >45° , OB = 7, AB =4、2，所以 OB > AB .因此/ OAB > / AOB > / B . 如图4,点P 由O 向C 运动的过程中，OP = BR = RQ,所以 因此/ AQP = 45°保持不变，/ PAQ 越来越大，所以只存在/ m 的值应为多少?解：（1）因为/y 关于x 的函数关系式； m = 8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少? 12求 若PQ//X 轴. APQ =Z AQP 的情况. EDC 与/ FEB 都是/ DEC 的余角，所以/ EDC =Z FEB.又因为/ C =Z B = 90°，所以△此时点 A 在PQ 的垂直平分线上， OR = 2CA = 6.所以BR = 1, t = 1. 我们再来讨论 P 在CA 上运动时的情形，4W t V 7. / 3 5 5 20 cos/A =_ AQ = OA _OQ =OA__OR =_ t _在厶APQ 中， 5为定值，AP =7-1 , 3 3 3 5 20 7_t= — t_— t如图5,当AP = AQ 时，解方程 3 3，得 如图6,当QP = QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上, DC因此CEm 8- x EB m_8-x1 2y = _一 xBF ，即x y.整理，得y 关于x 的函数关系为m41 _ 8 ⑵如图2,当 m = 8 时, 12 AP = 2(OR — OP).解方程 7-t =2[(7-t)-(t-4)], 12(3)若$ _ m ，那么m1 1 y x2 x(x-4)2 288.因此当x = 4时，y 取得最大值为 2.亠」xm m .整理, ED = EF 的情况.因为△ 2得 X -8x • 12= 0.解得 x = 2 或 x = 6 .要使△ DEF1AQ5 20 3 COS^A = ----- OAI-* y ._t_———2(^ —t^-如7,当PA = PQ 时，那么AP .因此AQ =2AP cos. A .解方程33 5,得为等腰三角形，只存在12 y =入 m ，得m = 6 （如图3）;将x = y = 6代入DC0A EBF,所以 CE = BF ,即卩 x = y .将 x = y = 2 代12y-—m ，得m = 2 (如图4).在矩形EGMP 中，EP= GM = x, PM= EG= 3.在平行四边形BMQE中，BM = EQ= 1 + x.所以BG= PQ= 1 .因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH= 2PQ= 2.在Rt A PNH 中，NH= 3, PH= 2，所以PN=7. 在平行四边形ABMN中，MN = AB= 4.因此△ PMN的周长为-3 + -■ 7+ 4. 6•如图1 在等腰梯形ABCD中，AD//BC, E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F, AB= 4, BC =6,ZB= 60°.(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM丄EF交BC于M ,过M作MN//AB交折线ADC于N , 连结PN,设EP= x.①当点N在线段AD上时(如图2) , △ PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点卩，使厶PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由. 图4 图5②当点N在线段DC上时，△ CMN恒为等边三角形.如图5，当PM = PN时，△ PMC与厶PNC关于直线PC对称，点P在/ DCB的平分线上. 在Rt A PCM 中，PM =3，/ PCM= 30°，所以MC = 3.图1 图2 图3 解：(1)如图4,过点E作EG丄BC于G.1BE = —AB =2在Rt A BEG中， 2 ，/ B= 60°,所以BG 二BE cos60 =1 , EG = BE sin 60、.所以点E到BC的距离为3.(2)因为AD//EF//BC , E是AB的中点，所以F是DC的中点. 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF= 4.①如图4，当点N在线段AD上时，△ PMN的形状不是否发生改变. 此时M、P分别为BC EF的中点，x= 2 .如图6，当MP = MN 时，MP= MN = MC=3, x= GM = GC- MC= 5—3如图7,当NP= NM 时，/ NMP = Z NPM= 30°，所以/ PNM = 120°.又因为/ FNM= 120°,所以P与F重合.此时x= 4.综上所述，当x= 2或4或5 —'■ 3时，△ PMN为等腰三角形.过点N作NH丄EF于H,设PH与NM交于点Q.［键入文字］。