【巩固练习】 一、选择题1.已知数列{}n a 的通项公式为cos 2n n a π=，则该数列的首项1a 和第四项4a 分别为 A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,12.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)则第9行中的第4个数是( A ．132 B ．255 C ．259D ．2603.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．24.在等差数列{a n }中，a m =n ，a n =m(m ，n ∈N *)，则a m+n = ( ) A ．mn B.m －n C.m+n D.05．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．81 C ．36 D ．27二、填空题6．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意自然数n,3a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________.7．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋2a n ＋2}是公差为________的等差数列． 8．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为________．9．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________. 10．(2015 浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1+a 2=1，则a 1= ，d= ．三、解答题11.在等比数列{a n }中，已知514215,6a a a a -=-=，求3a .12.求等差数列5，8，11，……，302与等差数列3，7，11，…299中所有公共项的项数. 13.对数列{n}加括号如下：（1），（2，3），（4，5，6），…….判断：100是第几个括号中的第几项？14.已知数列{a n }满足24(1)n n S a =+，求a n 和S n .15. (2015 山东)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .16. (2014 山东)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设()21+=n n n a b ，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－……＋(－1)n b n ，求T n ．【答案与解析】 1.【答案】B【解析】()cos 2n n a f n π==，14(1)cos 0,(4)cos21,2a f a f ππ∴======2.【答案】C【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列．前8行数的个数共有81212--＝255(个)，故第9行中的第4个数是259.3.【答案】 C【解析】 ∵S 偶－S 奇＝5d ， ∴5d ＝15，∴d ＝3.4.【答案】D ．【解析】由a m =n ，a n =m ，得1n ma a d n m-==--，a m+n =a m +nd=n －n=0．5.【答案】 D【解析】 11321119a q a a q a q =-⎧⎨=-⎩ 即1143a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴344511332744a a +=⨯+⨯=.6.【答案】 1123n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【解析】 由3a n ＋1－a n ＝0得113n n a a +=，∴1123n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭7.【答案】 3d【解析】 (a n ＋1＋2a n ＋3)－(a n ＋2a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋2d ＝3d .8.【答案】 9【解析】 S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列． 即1,3,5,7,9成等差数列． ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20 ＝S 20－S 16＝9.9.【答案】 11【解析】 设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3＝－2. 又11233(1)11a a a a q q++=-=-， ∴1113a q =-， ∴3551115151(1)[1()][1(2)]11113a a S q q q q =-=-=⨯--=--.故填11.10.【答案】2,13-【解析】 由题可得，(a 1+2d)2=(a 1+d)(a 1+6d)，故有3a 1+2d=0，又因为2a 1+a 2=1，即3a 1+d=1，所以121,3d a =-=.11.【答案】34a =± 【解析】方法一：由已知得：4221113211115(1)(1)156(1)6a q a a q q a q a q a q q ⎧⎧-=+-=⎪⎪⇒⎨⎨-=-=⎪⎪⎩⎩当211q q ≠⇒≠±时，221151252062q q q q q +=⇒-+=⇒=或q=2， 1311642q a a ∴=⇒=-⇒=-； 13214q a a =⇒=⇒=.当q=±1时不合题意，舍去。

方法二：由5115a a -=，426a a -=22332323333115154166a a q a q q q a a a q a q q q ⎧⎛⎫⎧-=-=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⇒=±⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=-= ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩12．【解析】{a n }中，a 1=5，d=3，a n =5+(n-1)×3=3n+2，a 100=302， 数列{b n }中，b 1=3，d=4，b m =3+(m-1)×4=4m-1，b 75=299. ∴4324113mn m n +=-⇒=-，则m 为3的整倍数， 且所有公共项构成一个新的等差数列{c n }，其中c 1 =11，公差为12， ∴1112(1)121n n c n c n =+-⇒=-，299为最后一项， 则有：299=12n-1，∴共有n=25项.13．【解析】2(1)12310010020002n n n n n ++++⋅⋅⋅+≤⇒≤⇒+-≤， 1415,n ∴≤<又n=14，14(141)1051002+=>，n=13共91项.所以100是第14个括号中的第9项.类似问题：1111111111,,,,,,,,,223334444……的第100项是多少？14．【解析】当n=1时，221111114(1)(1)01a S a a a a =⇒=+⇒-=⇒=，当2n ≥时，2211114(1),4(1)4(2)(),n n n n n n n n n S a S a a a a a a ----=+=+⇒=++- 22221111()2()40()2()0n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----⇒-+--=⇒--+=1111()(2)02n n n n n n n n a a a a a a a a ----⇒+--=⇒=--=或，11(1)0,1,n n n n n a a a n S n --⎧=-⎪∴=-⇒⎧⎨=⎨⎪⎩⎩偶奇或 12212n n n n a n a a S n -=-⎧-=⇒⎨=⎩. 15. 【解析】（I ）设数列{a n }的公差为d ， 令n=1，得12113a a =，所以a 1a 2=3. 令n=2，得12231125a a a a +=，所以a 2a 3=15. 解得a 1=1，d=2，所以a n =2n －1.（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅ 所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得12111344444(14)134 44,1433n n n n n n T n n n +++-=+++-⋅--=-⋅=⨯-- 所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+= 16．【解析】(Ⅰ)∵a 2是a 1与a 4的等比中项， ∴a 22＝a 1a 4，∵在等差数列{a n }中，公差d ＝2，∴(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋3d)，即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋3×2)， 化为，解得a 1＝2．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ． (Ⅱ)∵()()121+==+n n a b n n n ，∴T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－……＋(－1)n b n ＝－1×(1＋1)＋2×(2＋1)－……＋(－1)n n •(n ＋1)． 当n ＝2k(k ∈N *)时，b 2k －b 2k －1＝2k(2k ＋1)－(2k －1)(2k －1＋1)＝4k T n ＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋……＋(b 2k －b 2k －1) ＝4(1＋2＋……＋k)()()()2212214+++⨯n n k k k k ＝＝＝ 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，T n ＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋……＋(b 2k －2－b 2k －3)－b 2k －1()()()1211+-+-=n n n n()212+-=n故()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=+-∈=+=*2*1221222T N k k n n N k k n n n n ， ，．。