《空间向量在立体几何中的应用》教学设计 一. 教学目标（一） 知识与技能1. 理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2. 理解并会用空间向量解决平行与垂直问题.（二） 过程与方法1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程. （三） 情感态度与价值观1. 通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量 解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想；2. 培养学生向量的代数运算推理能力；3. 培养学生理解、运用知识的能力.二. 教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问 题.难点：用空间向量求二面角的余弦值.三. 教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法. 四. 教学用具：电脑、投影仪. 五. 教学设计（一） 新课导入1. 提问学生： （1） 怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2） 能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二） 新课学习1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值 .（1）设l 1 ,l 2是两条异面直线，A, B 是11 上的任意两点，C,D 是直线12上的任意AB ・CD两点，则11,12所成的角的余弦值为 一: --- :AB *CD（2）设AB 是平面〉的斜线，且B : ,BC 是斜线AB 在平面〉内的射影，则AB *BCAB ・n是平面a 的一条斜线，则AB 与平面a 所成的角的余弦值为 —一:斜线AB 与平面〉所成的角的余弦值为I 一Tj —i 一7T .设n 是平面 a 的法向量，ABAB BCAB・rII平面角或补角的余弦值.例1:在棱长为a 的正方体ABCD —A'B 'C 'D '中，EF 分别是BC,A 'D '的中点,分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA ，建立空间直角坐标系A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到所求的结果.解：(1)如图建立坐标系，贝U A '(0,0, a),C(a,a,0), D(0, a,0), E(a,a ,0).2a .AC = (a, a, -a), DE = (a,,0).」 215故AC 与DE 所成的角的余弦值为 一5.15(2) T • ADE - ADF ,所以AD 在平面BEDF 内的射影在.EDF 的平分线上，又B 'EDF 为菱形，.DB '为EDF 的平分线，故直线AD 与平面B 'EDF 所成 的角为• ADB ，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B '(a,O,a),D(O,a,O)， • DAga,0),D^(ara)，cos 仏京=故AD 与平面BEDF 所成角的余弦值为〒(3)设n 1, n 2是二面角:■的面:的法向量，则—*—*■n 1 ■ n 2就是二面角的(1) 求直线AC 与DE 所成角的余弦值.(2) (3)求直线AD 与平面B 'EDF 所成的角的余弦值.B求平面B 'EDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值.AC *DE15A 'C DED ^*DB- A /3 D A|n j «n 2八zIA GAEDDC3 2，，EA *DC 工一 12,EA』 a(3) 由 A(0,0,0), A (0,0, a), B (a,0, a), D(0, a,0), E(a, ,0),所以平面 ABCD 的2所以，平面BEDF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 课堂练习:1. 如图，PA_ 平面 ABC , AC _ BC,PA 二 AC =1,BC 「、,2，求二面角参考答案:解：建立如图所示空间直角坐标系 C-xyz ，取PB 的中点D ，连DC,可证T TDC — PB ，作AE -PB 于E ，则向量DC 与EA 的夹角的大小为二面角 A - PB - C的大小。

；A(10,0), B(0,、、2,0), C(0,0,0), P(1,0,1)，D 为 PB 的中点,E分PB的比为1，町:自乩y 送*4m •n.cos ::: n, m =_ 6法向量为m = AA =(0,0,a),下面求平面 B 'EDF的法向量，设 n = (1,y,z)，由ED ^-a,|,0)1EB^ (0r | a,；二=°n * EB = 0y花(1,2,1). z= 1A-PB -C 的余弦值.Efg)，在 RtPAB 中, PE A P2 1EB AB 23.二面角A _PC_C 的余弦值为弓. 引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平 面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：（1） 当法向量山与压的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等 于法向量n 与的夹角的大小；（2） 当法向量.山与门2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小 等于法向量与n 2的夹角的补角 …n i ,n 2 -.2. 利用向量向量解决平行与垂直问题例 2:如图，在直三棱柱 ABC- AB i C 中，AO3，BO4，AA = 4，AB =5,点 D 是AB 的中点， （I ）求证：AC 丄BG ; （II ）求证：A i C 〃平面CDB分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB,CC,建立空间直角坐标系 C-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到两条直线垂直或平行.解：•••直三棱柱 ABC-A i B i C 底面三边长 AO3，BO4, A 吐5,二AC BC GC 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA CB C i C 分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，则 C （0,0，0），A （ 3,0，0），G （0,0，4），B （0,4，0），3B 1 （0,4，4），D （ -，2,0 ）2(1)v AC =( — 3,0，0)，BC 1 =( 0，- 4,0 )，A AC ? BC 1 = 0,二 ACL BG. (2)设 CB 与 CB 的交战为 E ,则 E (0,2 , 2) . v DE =(—, 0,2 ), AG =2(—3,0 , 4),二 D^ = 1A C 1，二 DE// AC. v DE u 平面 CDB, AC 広平面CDB= 1,cos ：： EA,1 22332••• AC i// 平面CDB引导学生归纳：(1)垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；(2)平行问题转化为：面面平行=线面平行=线线平行.课堂练习：2. 在直三棱柱ABC—AB1C1中，AC=3,BC = 4,AB=5,AA =4,参考答案：解：直三棱柱ABC-AEG，AC =3,BC =4, AB = 5,AC,BC,CG 两两垂直，以 C为坐标原点，直线CA,CB,CC i分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,4), A(3,0,0), C i(0,0,4)，B(0,4,0), B i(0,4,4).(1) ：AC*3,0,0),龙诃-4,4)，AC.B CI P AC®I I(2)假设在AB上存在点D，使得AG _CD，则"AD = •"AB = (-3・,4 ,0)其中0「乞1，则D(3-3",0)，于是CD =(3-3, ,4 ■ ,0)由于AG = (-3,0,4)，且AG _ CD .所以-9 9=0得，=1，所以在AB上存在点D使得AG _ CD，且这时点D与点B重合.T T(3)假设在AB上存在点D使得AG〃平面CDB1，则D〜(340'B!^=(3-3 ,4 -4,-4)又左= (0,-4,-4).由于AG =(- 3 , 0 m, n,使AC： = mBQ nBC成立,1所以匸，所以在AB上存在点D使得AG 〃平面CM，且D使AB的中点.引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性.(二)课外作业1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1G 中，/ ACB=90，CB=1,CA=3, AA1二后,M 为侧棱CC上一点，AM _ BA1.(1) 求证：AM _平面A1BC ;(2) 求二面角B- AM- C的大小;2. 如图，直三棱柱ABC- A1B1G中C吐/AB.2(1) 证明：BG//平面ACD(2) 求二面角D- AC—E的正弦值.D, E分别是AB, BB的中点，AA = AC=,AQ"平面CDQ , 所以存在实数.m(3 -3 ■ ) - -3, m(4 ■ - 4) - 4n = 0, -4m - 4n = 4, 其中0 一_1 则D(3—3・,4 ■ ,0),。