立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条 2、 线面垂直的判断：（1） 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3） —直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4） 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD ，E 是AB 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱 形.PBPD ， E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平面 BDE .证明：（1）BC ACCE AB 同理,AD AE BDBEDE ABAE BE又•••CE DE E ••• AB 平面 CDE(2) 由 (1)有 AB平面 CDE又••• AB 平面ABC ，•••平面 CDE 平面 ABC的中点。

求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。

CA B例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中ACB 90°,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面SBC .证明：：ACB 90 °BC AC又SA 面ABC SA BC BC 面SACBC AD 又SC AD,SC BC C AD面SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA AC ,点E是线段PC的中点.求证：AE 平面PBC .证明：••• PA eO所在平面，BC是eO的弦，二BC PA.又••• AB是eO的直径，ACB是直径所对的圆周角，••• BC AC .v PAI AC A, PA 平面PAC，AC 平面PAC .••• BC 平面PAC，AE 平面PAC，二AE BC .v PA AC，点E是线段PC的中点.二AE PC .v PCI BC C, PC 平面PBC，BC 平面PBC .••• AE 平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 /DAB= 60°, AE丄BD，CB= CD = CF.求证：BD 丄平面AED;证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB / CD，/ DAB = 60°，所以/ ADC = / BCD = 120°.又CB = CD，所以/ CDB = 30°,因此/ ADB = 90°，即AD 丄BD.又AE 丄BD，且AE G AD = A，AE，AD?平面AED，ABCD是等腰梯形，AB // CD，所以BD丄平面AED.例6 （勾股定理的逆定理）如图 7-7-5所示，已知直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，△ ABC 为等腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB = AA i , D 、E 、F 分别为B i A 、C 1C 、BC 的中点. 求证：（1）DE //平面 ABC ; （2）B i F 丄平面 AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，A i C 丄 平面BC i D证明：连结AC••• BD 丄AC AC 为A i C 在平面AC 上的射影 BD A i C 厂A i C 平面BC i D同理可证A C BC 练习；i 、 如图在三棱锥 P — ABC 中，AB = AC ，D 为BC 的中点，PO 丄平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP I BC ;D iC iCB12、直三棱柱ABC —A1B1C1中，AC= BC= Q AA I, D是棱AA的中点，DC i丄BD.证明：DC i丄BC。

3. 如图，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD 的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1)求证：AB丄DE; (2)求三棱锥EABD的侧面积.4、在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB=2 , AA11，求点A到平面A1BC的距离。

5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA= AD.求证：(1)CD丄PD;(2) EF丄平面PCD.6、如图7-5-9(1)，在Rt A ABC中，/ C = 90°, D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ ADE沿DE折起到△ A i DE的位置，使A i F丄CD，如图⑵.(1)求证：DE//平面A i CB.⑵求证：A i F丄BE.⑶线段A i B上是否存在点Q,使A i C丄平面DEQ?说明理由.立体几何垂直总结1线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条 2、线面垂直的判断：（1） 如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

（2） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

（3） —直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4） 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，BC 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱 形.PBPD ，E 为PA 的中点.（I ）求证：PC //平面BDE ; （H ）求证：平面 PAC 平面 BDE .AC,AD BD ，E 是 AB的中点。

求证：（1）AB 平面CDE;（2）平面CDE 平面ABC 。

证明：（1）BC AE ACBE CE AB同理AD BDDE AB又•••CE DE E ••• AB 平面 CDE (2) 由 (1)有 AB平面 CDE又••• AB 平面ABC ，•••平面 CDE 平面 ABCAC例3、（线线、线面垂直相互转化）已知 ABC 中 ACB 90°,SA 面ABC,AD SC,求证：AD证明：T ACB 90 ° BC AC又 SA 面 ABC SA BC BC 面 SACBC AD 又SCAD,SC BC C AD 面 SBC例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直 径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC ,点E 是线段PC 的中点.求证： AE 平面PBC .证明：••• PA eO 所在平面，BC 是eO 的弦，二BC PA.又••• AB 是eO 的直径， ACB 是直径所对的圆周角，••• BC AC .T PAI AC A, PA 平面 PAC ，AC 平面 PAC .••• BC 平面 PAC ，AE 平面 PAC ，二 AE BC .T PA AC ，点E 是线段PC 的中点.二AE PC . T PCI BC C, PC 平面 PBC ， BC 平面 PBC .••• AE 平面 PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形 / DAB = 60°, AE 丄 BD ，CB = CD = CF.求证：BD 丄平面 AED ;证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB / CD ，/ DAB = 60°，所以/ ADC = / BCD = 120°. 又 CB = CD ，所以/ CDB = 30°, 因此/ ADB = 90°，即AD 丄 BD.ABCD 是等腰梯形，AB // CD ， CB B又 AE 丄 BD ，且 AE G AD = A , AE , AD?平面 AED , 所以BD 丄平面AED.例6 （勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中，△ ABC 为等 腰直角三角形，/ BAC = 90°且AB = AA 1, D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点. 求证：（1）DE //平面 ABC ; （2）B i F 丄平面 AEF.例7、（三垂线定理）证明：在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，A i C 丄 平面BC i D证明：连结ACBD 丄AC AC 为A i C 在平面AC 上的射影练习；i 、 如图在三棱锥 P — ABC 中，AB = AC ，D 为BC 的中点，PO 丄平面ABC ，垂足O 落在线 段AD 上.证明：AP I BC ;BD A i C 同理可证A i C BC iA i C 平面BGDD i C iC2、直三棱柱ABC —A1B1C1 中，AC= BC = ^AA i, D 是棱AA i 的中点，DC i丄BD.(1)证明：DC i 丄BC;证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA i的中点，故DC = DC i.又AC = ^AA i,可得DC i + DC2=c所以DC i丄DC.又DC i丄BD, DC A BD= D，所以DC i丄平面BCD.因为BC?平面BCD，所以DC i丄BC.3. 如图，平行四边形ABCD中，/ DAB = 60° AB = 2, AD = 4•将△ CBD沿BD折起到△ EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.(1) 求证：AB丄DE;(2) 求三棱锥EABD的侧面积.⑴证明：在△ABD中，••AB = 2，AD = 4,/DAB = 60 °设F为AD边的中点，连接FB,•••ZABF为等边三角形,ZAFB = 60又DF = BF = 2,AZ B FD为等腰三角形./•zFDB = 30°,故/ABD = 90：•••AB丄BD.又平面EBD丄平面ABD,平面EBD G平面ABD = BD, AB?平面ABD,•••AB丄平面EBD. IDE?平面EBD,：AB丄DE.(2)【解析】由(i)知AB丄BD, VCD //AB,：CD丄BD，从而DE丄BD.1 在Rt^DBE 中，：DB =2^/3, DE = DC = AB = 2,「.S ZDBE = qDB DE = 2扭.••AB丄平面EBD, BE?平面EBD,：AB丄BE.：BE= BC = AD = 4,1 十工十工十工十十工•••S ZABE = qAB BE = 4.TDE 丄BD,平面EBD丄平面ABD ,：ED丄平面ABD.而AD?平面1ABD,AED丄AD,：S ZADE= qAD DE = 4.综上，三棱锥EABD 的侧面积S= 8+ 2.34、在正三棱柱ABC AB.G中，若AB=2 , AA, 1，求点A到平面A,BC的距离。