2.2.3直线的参数方程（教学设计）(2课时)教学目标：知识与技能：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．教学过程：一、复习回顾：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？二、师生互动，新课讲解1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：=；②当OM与OA方向一致①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM tOAt>；时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0t<；当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0t=；当M与O重合时，0③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备． 3. 选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程． 【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 4. 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下： 因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=， 即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识： ①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义． 三、运用知识，培养能力012012121212cos (sin ().||.||.||||.|||1 ||| 直线为参数）上有参数分别为和对应的两点和，则，两点的距离为 例x x t t t t A B A B y y t a A t t B t t C t t D t t α=+⎧⎨=+⎩+-+-010cos ()sin ()2 在参数方程为参数所表示的直线上有，两点，它们对应的参数值分别为、 例则线段的中点对应的参数值是x x t t B C t y y t BC M θθ=+⎧⎨=+⎩例4 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t sin 20°＋3，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( ) A ．20° B ．70° C ．110° D ．160°例5(课本P36例1) 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得121122x x -+-==12y y ∴==．所以A B ，．则MA MB⋅=2===．()()0121201212121212000121212cos ()0.sin (1)||||(2)23,=0 直线(为参数)与曲线，交于，两点，对应的参数分别为，曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？若定点恰是线段的中点，则？t 小结：x x t t f x y M M t t y y t M M M M t t M M M tt t t P x y M M t tt αα=+⎧=⎨=+⎩=-+=++=()()()1321 2113 2把下列参数方程与直角方程互化：为例参数x t t x y t ⎧=-+⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），即1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t -=，解得1t =，2t =由参数t的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．例6(课本P37例2)、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则由120t t +=求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，整理得22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1224(cos 2sin )3sin 1t t ααα++=-+． 因为点M 为线段AB 的中点，所以1202t t+=，即cos 2sin 0αα+=．于是直线l 的斜率1tan 2k α==-．因此，直线l 的方程是11(2)2y x -=--，即240x y +-=．教师引导学生课下用其他方法解决．思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．例7（课本P37例3）.当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300Km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250k m 以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?思考：在例3中，海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM ，并以10KM/h 的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？[来源:Z|xx|]例8（课本P38例4）如图所示，AB ，CD 是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为1,2∠∠，且12∠=∠，求证：｜PA ｜*｜PB ｜＝｜PC ｜*｜PD ｜探究：如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？三、课堂小结，巩固反思： （1）直线参数方程求法； （2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。