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相似三角形模型分析大全(精)

第一部分相似三角形知识要点大全知识点1..相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读:(1)两个图形相似,其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似,即不仅形状相同,大小也相同.(3)判断两个图形是否相似,就是看这两个图形是不是形状相同,与其他因素无关.例1.放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢?分析:要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解:是相似图形。

因为它们的形状相同,大小不一定相同.例2.下列各组图形:①两个平行四边形;②两个圆;③两个矩形;④有一个内角80°的两个等腰三角形;⑤两个正五边形;⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形,其中一定是相似图形的是_________(填序号).解析:根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形,而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一,它们都相似.答案:②⑤⑥.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即a cb d=(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.解读:(1)四条线段a,b,c,d成比例,记作a cb d=(或a:b=c:d),不能写成其他形式,即比例线段有顺序性.(2)在比例式a cb d=(或a:b=c:d)中,比例的项为a,b,c,d,其中a,d为比例外项,b,c为比例内项,d是第四比例项.(3)如果比例内项是相同的线段,即a bb c=或a:b=b:c,那么线段b叫做线段和的比例中项。

(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致,但有时为了计算方便,a和b统一为一个单位,c和d统一为另一个单位也可以,因为整体表示两个比相等.例3.已知线段a=2cm, b=6mm, 求ab.分析:求ab即求与长度的比,与的单位不同,先统一单位,再求比.例4.已知a,b,c,d成比例,且a=6cm,b=3dm,d=32dm,求c的长度.分析:由a,b,c,d成比例,写出比例式a:b=c:d,再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.解读:(1)正确理解相似多边形的定义,明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写,且要明确相似比具有顺序性.例5.若四边形ABCD的四边长分别是4,6,8,10,与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30,则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少?分析:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且它们的相似比为对应的最大边长的比,即为13,再根据相似多边形对应边成比例的性质,利用方程思想求出最小边的长. 知识点4.相似三角形的概念对应角相等,对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读:(1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; (4)相似用“∽”表示,读作“相似于”; (5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意:①相似比是有顺序的,比如△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比为k,若△A 1B 1C 1∽△ABC ,则相似比为1k。

②若两个三角形的相似比为1,则这两个三角形全等,全等三角形是相似三角形的特殊情况。

若两个三角形全等,则这两个三角形相似;若两个三角形相似,则这两个三角形不一定全等.例6.如图,已知△ADE ∽△ABC ,DE=2,BC=4,则和的相似比是多少?点D ,E 分别是AB ,AC 的中点吗?注意:解决此类问题应注意两方面:(1)相似比的顺序性,(2)图形的识别.解:因为△ADE ∽△ABC ,所以DE AD AE BC AB AC ==,因为2142DE BC ==,所以12AD AE AB AC ==,所以D ,E 分别是AB ,AC 的中点. 知识点5.相似三角的判定方法(1) 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似;(2) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似. (3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. (4) 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. (6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.例7.如图,点D 在△ABC 的边AB 上,满足怎样的条件时,△ACD 与△ABC 相似?试分别加以列举.分析:此题属于探索性问题,由相似三角形的判别方法可知,△ACD 与△ABC 已有公共角∠A ,要使此两个三角形相似,可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.解:当满足以下三个条件之一时,△ACD ∽△ABC条件一:∠1=∠B ;条件二:∠2=∠ACB ;条件三:,即AC 2=AD ·AB .知识点6.相似三角形的性质(1) 对应角相等,对应边的比相等;(2) 对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比; (3) 相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.例8.如图,已知△ADE ∽△ABC ,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7 (1) 求DE 、AE 的长;(2) 你还能发现哪些线段成比例.AD AC AC AB =分析:此题重点考查由两个三角形相似,可得到对应边成例,即.例9.已知△ABC∽△A1B1C1,,=23,△ABC的周长为20cm,面积为40cm2.求(1)△A1B1C1的周长;(2)△A1B1C1的面积.分析:根据相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方求解.易求出△A1B1C1的周长为30cm; △A1B1C1的面积90cm2第二部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A字型、反A字型(斜A字型)B(平行)B(不平行)(二)8字型、反8字型BCBC(蝴蝶型)(平行)(不平行)DE AD AEBC AB AC==11ABA BABCDCAD(四)一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景(五)一线三直角型:CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型:由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第三部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ⋅=2.例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠.求证:(1)DA DE DB ⋅=2; (2)DAC DCE ∠=∠.ACDEB例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F . 求证:EG EF BE ⋅=2.相关练习:1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ⋅=2.2、已知:AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ,EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证:(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。

求证:EB·DF=AE·DB5.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点,PD⊥AB,交边AC 于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.(1)求证:AE=2PE;(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.ABPD E(第25题图)双垂型1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=62,求:点B到直线AC的距离。

C共享型相似三角形1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.D2、已知:如图,在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠DAE =45°.求证:(1)△ABE ∽△ACD ; (2)CD BE BC ⋅=22.DC一线三等角型相似三角形例1:如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60° (1)求证:△BDE ∽△CFD(2)当BD =1,FC =3时,求BE例2:(1)在ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上(如图),且6=BP ,求线段CQ 的长;②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD 的边长为5(如下图),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时,求出线段BP 的长.ABC备用图ABC DCAD BEFABCDAB CPQABC备用图ABCD例3:已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.(1)如图8,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . ①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长.(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE =1时,写出AP 的长.CCC例4:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,6AB CD BC ===,3AD =.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ,射线MF 交腰CD 于点F ,联结EF . (1)求证:△MEF ∽△BEM ;(2)若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形,求EF 的长; (3)若EF CD ⊥,求BE 的长.相关练习:1、如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠.(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;(2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.2、如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联结DE ,并作DEF B ∠=∠,射线EF 交线段AC 于F .(1)求证:△DBE ∽△ECF ; (2)当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长; (3)联结DF ,如果△DEF 与△DBE 相似,求FC 的长.BCABCDE3、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点. (1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ; (2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合),且满足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域; ②当BEP DMF S S ∆∆=49时,求BP 的长.4、如图,已知边长为3的等边ABC ∆,点F 在边BC 上,1CF =,点E 是射线BA 上一动点,以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆,直线,EG FG 交直线AC 于点,M N , (1)写出图中与BEF ∆相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似;(3)设,BE x MN y ==,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (4)若1AE =,试求GMN ∆的面积.EDC BA P(第25题图)EDCBA(备用图)一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 作CP PE ⊥,交边AB 于点E,设y AE x PD ==,,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围。

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