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相似三角形模型分析大全(非常全面经典)

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A字型、反A字型(斜A字型)B(平行)B(不平行)(二)8字型、反8字型BCBC(蝴蝶型)(平行)(不平行)(三)母子型B(四)一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景(五)一线三直角型:(六)双垂型:二、相似三角形判定的变化模型旋转型:由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1:如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E . 求证:OE OA OC ⋅=2.例2:已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠.求证:(1)DA DE DB ⋅=2; (2)DAC DCE ∠=∠.例3:已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F .求证:EG EF BE ⋅=2.ACDEB相关练习:1、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ⋅=2.2、已知:AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线,∠C=90°,EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ,EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证:(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 上一点,CF ⊥BE 于F 。

求证:EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中,AB=AC ,高AD 与BE 交于H ,EF BC ⊥,垂足为F ,延长AD 到G ,使DG=EF ,M 是AH 的中点。

求证:∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各5分)已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合),E 是射线DCB上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为y.(1)求证:AE=2PE;(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.双垂型1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=62,求:点B到直线AC的距离。

C共享型相似三角形120,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=长.D2、已知:如图,在Rt△ABC 中,AB =AC ,∠DAE =45°.求证:(1)△ABE ∽△ACD ; (2)CD BE BC ⋅=22.DC一线三等角型相似三角形例1:如图,等边△ABC 中,边长为6,D 是BC 上动点,∠EDF =60° (1)求证:△BDE ∽△CFD(2)当BD =1,FC =3时,求BE CAD BEF例2:(1)在ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上(如图),且6=BP ,求线段CQ 的长;②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD 的边长为5(如下图),点P 、Q 分别在直线..CB 、DC 上(点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时,求出线段BP 的长.例3:已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.(1)如图8,P 为AD上的一点,满足∠BPC =∠A . ①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长.AB C备用图ABC DAB CDAB CPQABC备用图ABCDC(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE=1时,写出AP的长.CBA DCBA D例4:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,6AB CD BC===,3AD=.点M为边BC的中点,以M为顶点作EMF B∠=∠,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.(1)求证:△MEF∽△BEM;(2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长;(3)若EF CD⊥,求BE的长.相关练习:1、如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC 边上,且C ADE ∠=∠.(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;(2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域; (3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.ABCDE2、如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,联结DE ,并作DEF B ∠=∠,射线EF 交线段AC 于F .(1)求证:△DBE ∽△ECF ; (2)当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长; (3)联结DF ,如果△DEF 与△DBE 相似,求FC 的长.3、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点. (1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ; (2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合),且满足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于点F ,同时交直线AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域; ②当BEP DMF S S ∆∆=49时,求BP 的长.BCEDC BA P(第25题图)EDCBA(备用图)4、如图,已知边长为3的等边ABC∆,点F在边BC上,1CF=,点E是射线BA上一动点,以线段EF 为边向右侧作等边EFG∆,直线,EG FG交直线AC于点,M N,(1)写出图中与BEF∆相似的三角形;(2)证明其中一对三角形相似;(3)设,BE x MN y==,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(4)若1AE=,试求GMN∆的面积.一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中,CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点,且和点A,D不重合,过点P作CPPE⊥,交边AB于点E,设yAExPD==,,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围。

备用图EBA P例2、在ABC ∆中,O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点,且52=AB AO ,点P 是AC 上的一个动点,OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ,(不与点B,C 重合),设y CQ x AP ==,,试求y 关于x 的函数关系,并写出定义域。

【练习1】在直角ABC ∆中,43tan ,5,90===∠B AB C o,点D 是BC 的中点,点E 是AB 边上的动点,DE DF ⊥交射线AC 于点F (1)、求AC 和BC 的长 (2)、当BC EF //时,求BE 的长。

(3)、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时,求BE 的长。

C BAOF DCBAAABAB【练习2】在直角三角形ABC 中,D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点,E 是在AC 边上的一个动点,(与A,C 不重合),DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时,求证:DF DE =(2)、当m DBAD=,求DF DE 的值(3)、当21,6===DB AD BC AC ,设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域【 练习4】]如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,3tan 4B =,D 是BC 边的中点,E 为AB 边上的一个动点,作90DEF ∠=︒,EF 交射线BC 于点F .设BE x =,BED ∆的面积为y .(1)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似,求BED ∆的面积.QPDCBAQPDCBA【 练习5】、(2009年黄浦一模25)如图,在梯形ABCD 中,CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ,P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B 、C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1) (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积; (2)当DQ PQ =时,求BP 的长;(图2)(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.(图1)(图2)。

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