⎪40m ＋18（m ＋20）≤2 000.⎩⎨解得 26≤m ≤28 . ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 专题复习(五) 方程、不等式与函数的实际应用题1．(2016· 永州)某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为 300 元/件，两次降价共售出此种商品 100 件，为使两次降价销售的总利润不少于 3 210 元，问 第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为 x%，依题意得 400×(1－x%)2＝324，解得 x ＝10 或 x ＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为 10%.(2)设第一次降价后售出该种商品 m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件． 第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60( 元/件)； 第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．依题意得：60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2 400≥3 210，解得 m ≥22.5. ∴m ≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于 3 210 元，第一次降价后至少要售出该种商品 23 件．2．“全民阅读”深入人心，读好书让人终身受益．为打造书香校园，满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到 新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书．经了解，20 本文学名著和 40 本科技阅读共需 1 520 元，一本文学名 著比一本科技阅读多 22 元(注：所采购的文学名著书价格都一样，所采购的科技阅读书价格都一样)． (1)求每本文学名著和科技阅读各多少元；(2)若学校要求购买科技阅读比文学名著多 20 本，科技阅读和文学名著总数不低于 72 本，总费用不超过 2 000 元， 请你为学校求出符合条件的购书方案；(3)请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元？解：(1)设每本文学名著 x 元，每本科技 阅读 y 元．依题意，有⎧20x ＋40y ＝1 520， ⎧x ＝40，⎨解得⎨ ⎪x ＝y ＋22. ⎪y ＝18.答：每本文学名著和科技阅读分别是 40 元，18 元．(2)设购买文学名著 m 本，则科技阅读(m ＋20)本，依题意，有⎧⎪m ＋m ＋20≥72， 829由于 m 为正整数，∴m 取值为 26，27，28.也就是说这次购买方案有 3 种，即文学名著 26 本，科技阅读 46 本；文学名著 27 本，科技阅读 47 本；文学名著 28 本，科技阅读 48 本．(3)由(2)知，此次活动购买最多图书为文学名著 28 本，科技阅读 48 本． ∴28×40＋48×18＝1 984(元)．答：此次活动学校最多需投 入资金 1 984 元．3．(2016· 孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进 A ，B 两种树木共 100 棵进行校园绿化升级．经市场调查：购买 A 种树木 2 棵，B 种树木 5 棵，共需 600 元；购买 A 种树木 3 棵，B 种树木 1 棵，共需 380 元．(1)求 A 种，B 种树木每棵各多少元；(2)因布局需要，购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价 格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买树木的方案，使实际所花 费用最省，并求出最省的费用．⎪⎪⎩⎩⎪⎩10k1＋b1＝300.⎪⎩b1＝－300.9k2＋b2＝300.⎪⎩b2＝－600.∴5－5＝(小时)；答：甲车出发后小时或2小时或3小时或4后，两车相距20千米．⎪⎪⎪⎪⎩解：(1)设A种，B种树木每棵分别为a元，b元，则⎧2a＋5b＝600，⎧a＝100，⎨解得⎨⎪3a＋b＝380.⎪b＝80.答：A种，B种树木每棵分别为100元，80元．(2)设购买A种树木为x棵，则购买B种树木为(100－x)棵，则x≥3(100－x)，解得x≥75.设实际付款总金额为y元，则y＝0.9[100x＋80(100－x)]＝18x＋7200.∵18>0，y随x的增大而增大，∴x＝75时，y最小．即x＝75，y最小值＝18×75＋7200＝8550(元)．∴当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少费用为8550元．4．(2016·龙东)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城的距离y与时刻t的对应关系，如图所示：(1)A、B两城之间的距离是多少千米？(2)求乙车出发后几小时追上甲车；(3)直接写出甲车出发后多长时间，两车相距20千米．解：(1)由图象知，A、B两城之间的距离是300千米．(2)设过(5，0)，(10，300)的直线表达式为y甲＝k1t＋b1，则⎧5k1＋b1＝0，⎧k1＝60，⎨解得⎨∴y甲＝60t－300.设过(6，0)，(9，300)的直线表达式为y乙＝k2t＋b2，则⎧6k2＋b2＝0，⎧k2＝100，⎨解得⎨∴y乙＝100t－600.⎪当y甲＝y乙，即60t－300＝100t－600.解得t＝7.5.∴7.5－6＝1.5.答：乙车出发后1.5小时追上甲车．1(3)①当y甲＝20，即60t－300＝20，解得t＝53.1133②当y甲＝y乙＋20，即60t－300＝100t－600＋20，解得t＝7.∴7－5＝2(小时)；③当y乙＝y甲＋20，即100t－600＝60t－300＋20，解得t＝8.∴8－5＝3(小时)；222④当y甲＝300－20，即60t－300＝300－20，解得t＝93.∴93－5＝43(小时)．1233⎪ ⎪ ⎩ ⎩5．(2016· 泰安)某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买 10 个乒乓球，乒乓球的单价为 2 元/个，若购买 20 副直拍球拍 和 15 副横拍球拍花费 9 000 元；购买 10 副横拍球拍比购买 5 副直拍球拍多花费 1 600 元． (1)求两种球拍每副各多少元；(2)若学校购买两种球拍共 40 副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的 3 倍，请你给出一种费用最少的方案， 并求出该方案所需费用．解：(1)设直拍球拍每副 x 元，横拍球拍每副 y 元，由题意得⎧20（x ＋20）＋15（y ＋20）＝9 000， ⎧x ＝220，⎨解得⎨ ⎪5（x ＋20）＋1 600＝10（y ＋20）. ⎪y ＝260.答：直拍球拍每副 220 元，横拍球拍每副 260 元．(2)设购买直拍球 拍 m 副，则购买横拍球拍(40－m)副，由题意得 m ≤3(40－m)．解 得 m ≤30.设买 40 副球拍所需的费用为 w 元，则w ＝(220＋20)m ＋(260 ＋20)(40－m)＝－40m ＋11 200. ∵－40＜0，∴w 随 m 的增大而减小．∴当 m ＝30 时，w 取最小值，最小值为－40×30＋11 200＝10 000(元)．答：购买直拍球拍 30 副，购买横拍球拍 10 副时，费用最少，最少为 10 000 元．6．(2016· 武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件．已知产销两种产品的有关信息如下表：每件售价每件成本 每年其他费用 每年最大产产品甲乙(万元)620 (万元)a10(万元)2040＋0.05x 2销量(件)20080其中 a 为常数，且 3≤a ≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 y 1 万元、y 2 万元，直接写出 y 1、y 2 与 x 的函数关系式； (2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 解：(1)y 1＝(6－a)x －20(0<x ≤200)；y 2＝(20－10)x －(40＋0.05x 2)＝－0.05x 2＋10x －40(0<x ≤80)． (2)∵3≤a ≤5，∴6－a>0.∴y 随 x 的增大而增大． ∴当 x ＝200 时，y 1 的最大值为 1 180－200a.y 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x －1 00)2＋460，∵－0.05<0，0<x ≤80，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x ＝80 时，y 2 的最大值为 440.(3)当 1 180－200a>440 时，a<3.7； 当 1 180－200a ＝440 时，a ＝3.7； 当 1 180－200a<440 时，a>3.7；∴当 3≤a<3.7 时，选择产销甲种 产品获得最大年利润；当 a ＝3.7 时，产销甲、乙两种产品获得的最大年利润一样；综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x＝4或x＝时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．解：(1)将y＝260代入y＝32x，得260＝32x，解得x＝8.⎩当3.7<a≤5时，选择产销乙种产品获得最大年利润．7．(2016·临沂)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；(2)小明选择哪家快递公司更省钱？解：(1)当0＜x≤1时，y甲＝22x，y乙＝16x＋3；当x＞1时，y甲＝22＋15(x－1)＝15x＋7，y乙＝16x＋3.1(2)①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x＋3，解得0＜x＜2；1令y甲＝y乙，即22x＝16x＋3，解得x＝2；1令y甲＞y乙，即22x＞16x＋3，解得2＜x≤1.②当x＞1时，令y甲＜y乙，即15x＋7＜16x＋3，解得x＞4；令y甲＝y乙，即15x＋7＝16x＋3，解得x＝4；令y甲＞y乙，即15x＋7＞16x＋3，解得1＜x＜4.1122128．(2016·天水)天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系y＝⎧⎪32x（0＜x≤5），⎨⎪⎩20x＋60（5＜x≤19）.(1)李红第几天生产的粽子数量为260只？(2)如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)18此时，x值不满足0＜x≤5，故这种情况不存在．∴5＜x≤19时，则有20x＋60＝260，解得x＝10.∴李红第10天生产的粽子数量为260只．(2)由图可知p1＝2(0＜x≤9)．设p2＝kx＋b(9＜x≤19)，将(9，2)，(19，3)代入，得⎧9k＋b＝2，⎨⎩19k＋b＝3，⎧⎪k＝0.1，解得⎨⎪b＝1.1.⎧64x（0＜x≤5），⎩解：(1)∵300＝a×302，∴a＝.∴b＝－.⎩－91（x－90）＋700（30≤x≤90）.(2)∵－(x－90)2＋700＝684，∴684－624＝15，15＋30＋(90－78)＝57(分钟)．∴p2＝0.1x＋1.1(9＜x≤19)．当0＜x≤5时，w＝(4－2)×32x＝64x，由一次函数的性质，知当x＝5时，w最大＝320.当5＜x≤9时，w＝(4－2)×(20x＋60)＝40x＋120，由一次函数的性质，知当x＝9时，w最大＝480.当9＜x≤19时，w＝[4－(0.1x＋1.1)]×(20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，由二次函数的性质，知当x＝13时，w最大＝512.∴w与x之间的函数表达式为：⎪w＝⎨40x＋120（5＜x≤9），⎪⎩－2x2＋52x＋174（9＜x≤19）.由320＜480＜512，知第13天时利润最大，最大利润是512元．9．(2016·黄石)科技馆是少年儿童假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为⎧⎪ax2（0≤x≤30），y＝⎨10：00之后来的游客较少可忽略不计．⎪b（x－90）2＋n（30≤x≤90）.(1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？13∵n＝700，b×(30－90)2＋700＝300，19⎧1x2（0≤x≤30），∴y＝⎨3219解得x＝78或x＝102(舍去)．4∴馆外游客最多等待57分钟．10．(2016·荆门)A城有某种农机30台，B城有农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？解：依题意列表如下：表一：运送数量(台)送出地数量接收地C D合计A B 合计x34－x3430－x6＋x36304070表二：运输费用(元/台)送出地费用接收地AB(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12540.∵表一中的数是非负整数，∴自变量x的取值范围是0≤x≤30，且为整数．(2)∵W≥16460，∴140x＋12540≥16460.解得x≥28.∴28≤x≤30.此时整数x＝28，29，30.∴共有3种方案，如下表：方案一C250150方案二D200240方案三A B C286D234C295D135C304D36(3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x＋12540.①当0＜a＜140时，140－a＞0，W随x的增大而增大，∴x＝0时，W最小．此时，使总费用最少的方案为：从A至C乡运0台，从A至D乡运30台，从B至C乡运34台，从B至D乡运6台；②当a＝140时，各种调运费用相同，均是12540；③当140＜a≤200时，140－a＜0，W随x的增大而减小，∴x＝30时，W最小．此时，使总费用最少的方案为：从A至C乡运30台，从A至D乡运0台，从B至C乡运4台，从B至D乡运36台．。