函数、方程、不等式综合应用专题一、专题介绍函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。
函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。
也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。
而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。
因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。
这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。
这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。
考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。
解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。
三、考点精讲考点一:一次函数，反比例函数，二次函数综合1.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D解析：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0， ∵对称轴x=- b/2a ＜0，∴b ＜0， ∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数y= a x 位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合． 故选C ． 课堂练习：1已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线 上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x （ ）A ．有最大值，最大值为B ．有最大值，最大值为C ．有最小值，最小值为D ．有最小值，最小值为2.某公司销售一产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y （万件）与销售单价x （元）存在如图所示的关系，每年销售该产品的总开支z （万元）（不含进价）与年销量y （万件）存在函数关系z=10y+42.5．（1）求y关于x的函数关系式；（2）写出该公司销售该产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？考点二：函数与方程（组）综合应用例2．某乡镇决定对小学和初中学生用餐每生每天3元的标准进行营养补助，其中家庭困难的学生的补助标准为：小学生每生每天4元，初中生每生每天5元，已知该乡镇现有小学生和初中学生共1000人，且小学、初中均有2%的学生为家庭困难寄宿生．设该乡镇现有小学生x人．（1）用含x的代数式表示：该乡镇小学生每天共需营养补助费是____元．该乡镇初中生每天共需营养补助费是_____元．（2）设该乡镇小学和初中生每天共需营养补助费为y元，求y与x之间的函数关系式；（3）若该乡镇小学和初中学生每天共需营养补助费为3029元，问小学生、初中生分别有多少人？解答：解：（1）小学生每天所需营养费=4×2%x+3（1﹣2%）x=3.02x；中学生所需营养费=5×2%（1000﹣x）+3×（1﹣2%）（1000﹣x）=3040﹣3.04x；（2）根据题意得y=3.02x+3040﹣3.04x=3040﹣0.02x；（3）令y=3029,故3040﹣0.02x=3029解得：x=550,故中学生为1000﹣550=450人．答：小学生有550人，中学生有450人．课堂练习3．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克．（1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？4.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若矩形ABCD 的面积为50平方米，且AB ＜AD ，请求出此时AB 的长.考点三：函数与不等式（组）综合应用例3.国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x （套）与每套的售价y 1（万元）之间满足关系式y 1=170-2x ，月产量x （套）与生产总成本y 2（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出．．．．y 2与x 之间的函数关系式； （2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x （套）为多少时，这种设备的利润W （万元）最大？最大利润是多少？解：（1）y 2=500+30x. （2）依题意得：⎩⎨⎧≥-≤+.902170,5030500x x x解得：25≤x ≤40（3）∵W =xy 1-y 2=x (170-2x )-(500+30x )=-2x 2+140x -500,∴W =-2(x -35)2+1950.而25<35<40, ∴当x =35时，1950=最大W .即月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元． 课堂练习：5.某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x （个），购买两种球的总费用为y （元），请你写出y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？ （3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？6.为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A 、B 两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：A型收割机B型收割机进价（万元/台） 5.3 3.6售价（万元/台）64设公司计划购进A型收割机台，收割机全部销售后公司获得的利润为万元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？7．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某，乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部．．运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？8.某工厂有一种材科，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完戚．并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息。
解答下列问题：（1）设加工甲配件的人数为x，加工乙配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式。
（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人．那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．配件种类甲乙丙每人可加工配件的数量（个）16 12 10每个配件获利（元） 6 8 5考点四：方程（组）与不等式（组）综合应用9．学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：小明在购买奥运福娃和奥运徽章前，了解到如下信息：2盒奥运福娃和1枚奥运徽章共315元，1盒奥运福娃和3枚奥运徽章共195元．（1）求一盒奥运福娃和一枚奥运徽章各多少元？（2）若本次活动设一等奖2名，用于购买奖品的费用不少于1000元但不超过1100元，则二等奖和三等奖各设多少名?解析：（1）设一盒福娃为x元，1枚徽章为y元。
由题意得：解得：答：一盒福娃为150元，一枚徽章为15元；（2）设二等奖有z名，则三等奖为（10-z）名。
由题意得1000≤（150+15）×2+150z+15（10-z）≤1100解得,所以z= 4答：二等奖有4名，三等奖有6名。
课堂练习10.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O．(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；11. 郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元．用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元?（2）郑老师计划用l000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后．余下不少于l OO元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?12. 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．考点五：函数、方程（组）与不等式（组）综合应用例5．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。