练习：a2 b2 2b 1
A层练习 一:将下列各式分解因式： ⑴ -a²-ab； ⑵ m²-n²；
⑶ x²+2xy+y² （4）3am²-3an²；
（5）18a²c-8b²c （6） m4 - 81n4
(7)x3-2x2+x； (8)x2(x-y)+y2(y-x)
(6)若x－y＝99求x2＋x＋y2－y－2xy之值
C. x2+3x+2=(x+1)(x+2) D. a(m+n)=am+an
4.下列多项式是完全平方式的是( )
A. 0.01x2+0.7x+49
B. 4a2+6ab+9b2
C. 9a2b2-12abc+4c2
D. X2-0.25x+0.25
1. 提公因式法
公因式 多项式各项都含有的相同因式，
确
定系数 系数的最大公约数
（4）若x y 5, xy 6, 则x3 y xy3 ____________
(6)已知a、b、c是一个三角形的三边， 判断代数式a2-b2 -c2 –2bc 的正负性。
(7)若n是任意正整数.试说明 3n+2-4×3n+1+10×3n能被7整除.
(8)甲、乙两同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果是(x+2)(x+6),乙看错了a，分解结果是(x+1)(x+16) 请你分析一下a、b的值分别为多少，
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
填空
1.若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m= ,n= 。 2．x2-8x+m=(x-4)2,m= 。
3.下列等式中,从左到右的变形是分解因式的是( )
A. (x+5)(x-5)=x2-25
B. x2+3x+1=(x+1)(x+1)-1
(9)已知对多项式2x3 x2 13x k进行因式分解时 有一个因式是2x 3, 试求4k 2 4k 1的值.
4p(1-q)3+2(q-1)2
2. 公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3). (2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
例如：4x2-12xy+9y2 =(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
应用：1).计算： 20052-20042 =
2). 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2=
3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m=
4). 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( )
A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12;
22 32+…+
99
2
100
B层练习
将下列各式分解因式： ⑴ (2a+b)²–(a–b)²； (2) (x+y)²-10(x+y)+25 (3) 4a²–3b(4a–3b) (4)(x2－5)2＋2(x2－5)＋1
（5）(x2+y2)(x2+y2-4)+4
基本方法
第二步第 一环节
C层练习
◆（1）不论a、b为何数，代数式 a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ ） A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
a2 2ab b2 整式乘法 (a b)2
a2 2ab b2
(a b)2
是互逆的关系．一定是恒等变形
A层练习
下列变形是否是因式分解？为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
4 +3 =7
3 x2 + 11 x + 10
∴3x2+11x+10=
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
简记口诀： 首尾分解，交叉相乘， 求和凑中。
顺口溜：
竖分常数交叉验， 横写因式不能乱
十字相乘法②随堂练习：
1）4a2–9a+2
2）7a2–19a–6
（3）a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数） (-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1)-x3z+x4y； (2)3x(a-b)+2y(b-a)
把下列各式分解因式： （ x －y）3 － （ x －y）
a2 － x2y2
因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，
即：一个多项式 →几个整式的积
分解因式几个特点 (l)结果一定是积的形式； (2)每个因式必须是整式； (3)各因式要分解到不能再分解为止．
分解因式与多项式乘法关系
ma mb mc
m(a b c)
a2 b2 因式 分解 (a b)(a b)
定
公
因 式
定字母 各项中都有的相同的字母。
的
方
法
定指数 字母的最低次幂。
提公因式法 如果多项式的各项有公因式,把公因式提出来, 从而转化为几个因式乘积的形式
(1) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
(2)a-b 与 b-a 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
2
=
___________
12 23
99100
1). 3m2-27 2). 1-a4
3). 9-12x+4x2 4). -x2+4x-4 5). y3+4xy2+4x2y
6). -8a3b2+12ab3c-6a2b2 7). (m2+n2)2-4m2n2 8). (2x+y)2-(x+2y)2
3）2(x2+y2)+5xy
分组分解法
分
分组后能直接提取公因式
组
分
解
法
分组后能直接运用公式
四项:常考虑一三分组或者是二二分组 五项:常考虑二三分组
例1：把a2 ab ac bc分解因式。 ：把m2 5n mn 5m分解因式。
把x2 y2 ax ay分解因式。
例2：把a2 2ab b2 c2分解因式。
既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。 (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两 个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两 个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分 解就成功了。
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ；
(2)1-10x+25x2；
(3)(m+n)2-6(m+n)+9
做 (1) 3x³+6x²y+3xy²(2)(a+ b+c)2-(a+b-c)2 (3)x²y²-4xy+4 一 做
(4)3ax2-3ay4；
(5)m4-1
(6)y2 －4xy＋4 x2
十字相乘法①
前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 暂且称为p、q型因式分解 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）
例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3)
这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等于一次项系数
例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5)
十字相乘法①随堂练习： 1）a2–6a+5 2）a2–5a+6
3）x2–(2m+1)x+m2+m–2
十字相乘法②
试因式分解6x2+7x+2。
这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。