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辽宁省高考试题数学

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数 学(供理科考生使用)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.a 为正实数,i 为虚数单位,2=+iia ,则=a A .2B 3C 2D .12.已知M ,N 为集合I 的非空真子集,且M ,N 不相等,若I N ð=M I ∅,则=N M YA .MB .NC .ID .∅3.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,=3AF BF +,则线段AB的中点到y 轴的距离为A .34B .1C .54D .744.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =a 2,则=abA .23B .22C 3D 25.从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个数均为偶数”,则P (B ︱A )= A .18 B .14C .25D .126.执行右面的程序框图,如果输入的n 是4,则输出的P 是 A .8 B .5 C .3D .27.设sin 1+=43πθ(),则sin 2θ=A .79- B .19-C .19D .798.如图,四棱锥S —ABCD 的底面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下列结论中不正确...的是 A .AC ⊥SBB .AB ∥平面SCDC .SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D .AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角9.设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ,则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A .1[-,2]B .[0,2]C .[1,+∞]D .[0,+∞]10.若a ,b ,c 均为单位向量,且0=⋅b a ,0)()(≤-⋅-c b c a ,则||c b a -+的最大值为A .12-B .1C .2D .211.函数)(x f 的定义域为R ,2)1(=-f ,对任意R ∈x ,2)(>'x f ,则42)(+>x x f 的解集为 A .(1-,1)B .(1-,+∞)C .(∞-,1-)D .(∞-,+∞)12.已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =3,ο30=∠=∠BSC ASC ,则棱锥S —ABC 的体积为 A .33B .32C .3D .1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知点(2,3)在双曲线C :)0,0(12222>>=+b a by a x 上,C 的焦距为4,则它的离心率为 .14.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万元),调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程:321.0254.0ˆ+=x y.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加____________万元.15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为32,它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 .16.已知函数)(x f =A tan (ωx +ϕ)(2||,0πϕω<>),y =)(x f的部分图像如下图,则=)24(πf .三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10 (I )求数列{a n }的通项公式;(II )求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =12P D .(I )证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (II )求二面角Q —BP —C 的余弦值. 19.(本小题满分12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.(I )假设n =4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X ,求X 的分布列和数学期望;(II )试验时每大块地分成8小块,即n =8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地2品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=,其中x 为样本平均数.20.(本小题满分12分)如图,已知椭圆C 1的中心在原点O ,长轴左、右端点M ,N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN ,且C 1,C 2的离心率都为e ,直线l ⊥MN ,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D . (I )设12e =,求BC 与AD 的比值; (II )当e 变化时,是否存在直线l ,使得BO ∥AN ,并说明理由. 21.(本小题满分12分)已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=. (I )讨论)(x f 的单调性;(II )设0>a ,证明:当a x 10<<时,)1()1(x af x a f ->+; (III )若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ,B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点,且EC =ED . (I )证明:CD //AB ;(II )延长CD 到F ,延长DC 到G ,使得EF =EG ,证明:A ,B ,G ,F四点共圆.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x (ϕ为参数),曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (0>>b a ,ϕ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=2π时,这两个交点重合. (I )分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值;(II )设当α=4π时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=4π-时,l 与C 1,C 2的交点为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|. (I )证明:3-≤)(x f ≤3;(II )求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集.参考答案评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题不给中间分. 一、选择题1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 13.2 14.0.254 15.16三、解答题 17.解:(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 (II )设数列1{}2n n n a n S -的前项和为,即2111,122n n n a a S a S -=+++=L 故, 12.2242n n n S aa a =+++L所以,当1n >时,1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a a a n n------=+++--=-+++--=---L L.2nn 所以1.2n n n S -=综上,数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 18.解:如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.(I )依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0).则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-u u u r u u u r u u u r所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ,所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分(II )依题意有B (1,0,1),(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--u u u r u u u r设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量,则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩u u u ru u u r即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量,则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r可取15(1,1,1).cos ,.m m n =<>=-所以故二面角Q—BP—C的余弦值为15. -………………12分19.解:(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且481344482244483144484811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P XCC CP XCC CP XCC CP XCP XC===============即X的分布列为………………4分X的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………6分(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS=+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS=+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.20.解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<,分别与C 1,C 2的方程联立,求得((A t B t ………………4分当1,,,2A B e b y y ==时分别用表示A ,B 的纵坐标,可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分(II )t=0时的l 不符合题意.0t ≠时,BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN -相等,即,a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时,不存在直线l ,使得BO//AN ;1e <<时,存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21.解:(I )()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- (i )若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.(ii )若10,()0,a f x x a'>==则由得 且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加,在1(,)a+∞单调减少. ………………4分(II )设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a<<时,11()().f x f x a a +>- ………………8分(III )由(I )可得,当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点,故0a >,从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由(II )得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由(I )知,0()0.f x '< ………………12分22.解:(I )因为EC=ED ,所以∠EDC=∠ECD.因为A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ,所以CD//AB. …………5分(II )由(I )知,AE=BE ,因为EF=FG ,故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF ,BG ,则△EFA ≌△EGB ,故∠FAE=∠GBE , 又CD//AB ,∠EDC=∠ECD ,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ,B ,G ,F 四点共圆 …………10分 23.解:(I )C 1是圆,C 2是椭圆.当0α=时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(1,0),(a ,0),因为这两点间的距离为2,所以a =3. 当2πα=时,射线l 与C 1,C 2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b ),因为这两点重合,所以b =1.(II )C 1,C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时,射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =,与C 2交点B 1的横坐标为10x '=当4πα=-时,射线l 与C 1,C 2的两个交点A 2,B 2分别与A 1,B 1关于x 轴对称,因此,四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分24.解:(I )3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 (II )由(I )可知,当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集;当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为;当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上,不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分。

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