第四章 特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①或 2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅． ② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 图4-1PCB A2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 2222cos(180)AB AP BP AP BP APC =+-⋅⋅︒-∠ 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理 设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，或 2222PC BP BP PCAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅+⋅-⋅⋅， 则B ，P ，C 三点共线． 证明 令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．斯特瓦尔特定理的推广 （1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=-⋅+⋅+⋅⋅． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则 2222PC BP PC BPAP AB AC BC BC BC BC BC=⋅-⋅+⋅⋅．④注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅． 注 此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理． 推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111224AP AB AC BC =+-． 推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足BPBCλ=，则 2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅．注 若BPk PC =，则()222221111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++． 【典型例题与基本方法】1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．例1 如图4-2，凸四边形ABCD 中，60ABC =︒∠，90BAD BCD ==︒∠∠，2AB =，1CD =，对角线AC ，BD 交于点O ．求sin AOB ∠． （1996年北京中学生竞赛题）DC BAPO图4-2解 延长BA ，CD 相交于P ，设BC x =，则2PB x =，PC =，对△PBC 及PB 边上的点A ，应用斯特瓦尔特定理，有222AB PACA PC BC AB PA PB PB=⋅+⋅-⋅)()2222222222x x x x x-=⋅+⋅-- 224x x =-+．由Rt Rt ADP CBP △∽△，有PD PC PA PB ⋅=⋅，即)()1222x x -=-⋅，求得4BC x == 于是，215CA =-．又在Rt BCD △中，22120BD x =+=-，从而BD AC ⋅=12=．而()(1242ABCD ABD BCD S S S =+=+△△ 故()112sin 2AOB ⋅∠，即sin AOB =∠为所求． 例2 如图4-3，在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求MH NHOH+的值．（2002年全国高中联赛题）L ST图4-3解 延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =．设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长OH 两端交O 于T ，S ，如图4-3，由相交弦寇理有TH HS BH HL ⋅=⋅，即()()R d R d x y +-=⋅，即22R d xy=+．在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得 222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，即)()()222x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，亦即 ()22213R x xy y =++． 于是，有()22213x xy y d xy ++=+． 亦即()223x y d -=，即x y d-=而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-，故x y MH NH OH d-+=2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例3 如图4-4，自O 外一点引圆的两条切线PE ，PF ，E ，F 为切点，过P 点任意引圆的割线交O于A ，B ，交EF 于C ．证明：211PC PA PB=+． （2001年湖南中学生夏令营试题）CBAEFP图4-4证明 由相交弦定理，有EC CF AC CB ⋅=⋅．由于PE PF =，对等腰△PEF 及底边EF 上的点C ，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有22PC PE =- EC CF ⋅，即有222PE PC EC CF PC AC CB =+⋅=+⋅ ()()2PC PC PA PB PC =+-⋅-22PC PC PA PB PC PB PC PA =--⋅+⋅+⋅PA PC PB PC PA PB =⋅+⋅-⋅．而2PE PA PB =⋅，从而2PA PB PA PC PB PC ⋅=⋅+⋅．故211PC PA PB=+． 注 此例结论表示线段PC 是线段PA ，PB 的调和平均．这个结论亦即为点P 、C 调和分割弦AB ． 例 4 如图4-5，设在ABC △中，AB AC >，AE 平分A ∠，且交BC 于E ，在BC 上有一点S ，使BS EC =．求证：()222AS AE AB AC -=-．（1979年江苏省竞赛题）CB ASE 图4-5证明 对ABC △及边BC 上的点S ，应用斯特瓦尔特定理，有222SC BSAS AB AC BS SC BC BC=⋅+⋅-⋅． 由AE 平分A ∠，对ABC △及边BC 上的点F ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有2AE AB AC =⋅- BE EC ⋅，从而2222SC BSAS AE AB AC AB AC BE EC BS SC BC BC-=⋅+⋅-⋅+⋅-⋅． ①因BS EC =，有BE SC =，即BE EC BS SC ⋅=⋅． 由角平分线的性质，有 ,BE AB EC ACBC AB AC BC AB AC==++， 即,SC BE AB BS EC ACBC BC AB AC BC BC AB AC====++． 从而，由①式，有()222AS AE AB AC -=-．例5 凸多边形ABCD 外切于O ，两组对边所在的直线分别交于点E 、F ，对角线交于点G ．求证：DG EF ⊥．（《中等数学》奥林匹克题高中251题） 证明 如图4-6，设O 与边AB 、BC 、CD 、DA 分别切于点M 、N 、R 、S ，则由牛顿定理知，AC 、BD 、MR 、NS 四线共点于G ．由切线长定理，知EM ER =．G SOM NRFEDC BA图4-6由推论1，有22EG FS MG GR =-⋅． ① 同理，22FG FS SG GN =-⋅．②联结MO 、EO 、SO ，令O 的半径为r ，则 22222EM OE r FS OF r =-=-，．③ 又由相交弦定理，有MG GR SG GN ⋅=⋅．④于是，由①、②、③、④有2222EG ED FG FO -=-． 由定差幂线定理，知OG EF ⊥．注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．（2）定差幂线定理 设MN 、PQ 是两条线段，则MN PQ ⊥的充要条件为2222PM PN QM QN -=-． 此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由22222222PM QN PN QM PM QN PN QM +--=+-- ()()2222PM PN PQPN PM PQ =+----22222222PM PN PQ PN PQ PM PQ PM PQ PN =++-⋅--+⋅-()2222PM PQ PN PQ PM PN PQ NM PQ =⋅-⋅=-⋅=⋅． 知 0NM PQ NM PQ ⇔⋅=⊥．故 2222MN PQ PM PN OM QN ⇔-=-⊥．例6 已知E 、F 分剔是ABC △的边AB 、AC 的中点，CM 、BN 是边AB 、AC 上的高，联结EF 、MN 交于点P ．又设Q 、H 分别是ABC △的外心、垂心，联结AP 、OH ．求证：AP OH ⊥．（2005年国家队集训题）证明 如图4-7，联结AO 、AH ．设1O 、1H 分别为AO 、AH 的中点，则112H N AH =，112H M AM =，即知点1H 在线段MN 的中重线上，应用推论1，有B图4-72211H P H M MP PN =-⋅．注意到EF 为ABC △中位线，O 在BC 的中垂线上，由此知1O 也在EF 的中垂线上，应用推论1，有 2211O P O E EP PF =-⋅．再注意到ANM ABC AEF ==∠∠∠，知M 、E 、N 、F 四点共圆，并由直角三角形性质，有MP PF EP PF ⋅=⋅． ③ 及11O E O A =、11H M H A =．④由①、②、③、④得22221111H A H P O A O P -=-．由定差幂线定理，11O H AP ⊥． 而1O H OH ∥，故AP OH ⊥．注 此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15．例7 设D 是ABC △的边BC 上一点，满足CDA CAB △∽△，O 经过B 、D 两点，并分别与AB 、AD 交于E 、F 两点，BF 、DE 交于点G ，联结AO 、AG ，取AG 的中点M ．求证：CM AO ⊥． 证明 如图4-8，在AG 的延长线上取点P ，使得AG AP AF AD ⋅=⋅（即G 、P 、D 、F 四点共圆），则由AE AB AF AD ⋅=⋅知E 、B 、P 、G 也四点共圆．于是180180BPA BED BFD =︒-=︒-=∠∠∠BFA ∠，知B 、P 、F 、A 四点共圆，即有2FG GB AG GP AF AD AG ⋅=⋅=⋅-．C图4-8联结OD 、OF 、OE ，并令O 半径为R ，则对ODE △、ODF △分别应用推论1，有 222OG OD EG GD R FG GB =-⋅=-⋅．① 2222OA OD AF AD R FG GB AG =+⋅=+⋅+．②联结OM ，由三角形中线长公式，并注意①、②，有222222211(22)44MO MA OA OG AG AG R -=+--=．③联结OB 、OC ，对OBD △应用推论1，有222CO OB CD CB R CD CB =+⋅=+⋅． 又由CDA CAB △∽△，有2CA CD CB =⋅，即有222CO CA R -=．④注 P 即为完全四边形的密克尔点，由③、④有2222MO MA CO CA -=-．由定差幂线定理，知CM ⊥AO ．3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理 斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．证明 如图4-9，在ABC △中，点P 在BC 上，由斯特瓦尔特定理，有CBAEP图4-9222AP BC AB PC AC BP BP PC BC ⋅=⋅+⋅-⋅⋅．延长AP 交ABC △的外接圆于E ，连BE ，EC ，由ABP CEP △∽△和ACP BEP △∽△，有AB AP ⋅= CE AP ⋅，AC BP AP BE ⋅=⋅．又由相交弦定理，有BP PC AP PE ⋅=⋅．于是，得2AP BC AB CE AP AC AP BE AP PE BC ⋅=⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅， 即 ()BC AP PE AB CE AC BE +=⋅+⋅，亦即 AB CE AC BE BC AE ⋅+⋅=⋅．即为托勒密定理．由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．证明 如图4-10，设圆内接四边形ABEC 的对角线AE ，BC 交于P ．由托勒密定理，有CBAEP 图4-10AB EC AC BE BC AE ⋅+⋅=⋅．即 ()AB EC AC BE BP PC AE ⋅+⋅=+⋅．由△ABP ∽△CEP 和△ACP ∽△BEP ，有AB PC EC AP ⋅=，AC BPBE AP⋅=．由相交弦定理，有BP PCPE AP⋅=．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理． 因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．例8 若ABC △的三边为连续整数，且最大角B ∠是最小角A ∠的两倍，求三角形的三边长．（IMO -10试题）解法1 作ABC ∠的平分线BD （图略），则BD AD =，令AD y =，AB x =，则 1AC x =+，1BC x =-，1CD x y =+-． 由斯特瓦尔特定理的推论3，有()()211y x x y x y =--+-，即()11x x y x -=+，又AB AD BC CD =，即1xx =-1yx y +-，有()121x x y x +=-．故由22121x x x xx x -+=+-，求得5x =（舍去0x =），即5AB =，4BC =，6AC =． 解法2 作ABC △的外接圆O ，取AC 的中点D ，连AD ，BD ，CD ，则ABCD 为梯形，其中CD BA ∥．令AB x =，则1AC x =+，1BC x =-，且1CD BC x ==-，1BD AC x ==+．对四边形ABCD 应用托勒密定理，有()()()22111x x x x +=-+-，求得5x =．（下略） 【解题思维策略分析】1．获得线段倍分关系的一条途径例9 如图4-11，已知ABC △的外接圆k 的圆心为O ，半径为R ，内切圆的圆心为I ，半径为r ，另一个圆0k 与边CA ，CB 分别切于点D ，E ，且与圆k 内切．求证：内心I 是线段DE 的中点．（IMO -34预选题）A图4-11证明 设圆0k 的圆心为1O ，半径为ρ，于是1O ，I ，C 三点共线，且1sin 2r CI C =∠，11sin 2CO C ρ=∠，则11sin 2rIO C ρ-=∠，且1O E ρ=．于是，111IO r rCO ρρρ-==-． 连OC ，OI ，1O O ，对△1COO ，及边1O C 上的点I ，应用斯特瓦尔特定理，有 22211111OO CI OC IO OI CO CI IO CO ⋅+⋅=⋅+⋅⋅①注意到欧拉公式，222OI R Rr =-，及1OO R ρ=-，OC R =，并将其代入①式，得到()2211sin sin 22r rR R C C ρρ--⋅+⋅∠∠ ()221111sin sin sin sin 2222r r R Rr C C C C ρρρ-=-⋅+⋅⋅∠∠∠∠， 化简得 21sin 12r rC ρρρ-==-∠．从而 221111sin 2IO C CO CO ρ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∠， 即 22111IO CO O E ρ⋅==．②因为1O E CE ⊥，1CO DE ⊥且平分DE ，令DE 的中点为I '，由射影定理，有 2111I O CO O E '⋅=．③比较③式和②式，知I '与I 重合，即得I 为DE 的中点．例10 如图4-12，两个大圆A ，B 相等且相交；两个小圆C ，D 不相等但相交，且交点为P ，Q ．若C ，D 既同时与A 内切，又同时与B 外切．试证：直线PQ 平分线段AB ．（《中等数学》奥林匹克问题高中58题）图4-12证明 由于C ，D 半径不相等，此两圆交点所在直线PQ 必与线段AB 相交，设交点为M ．连AC ，MC ，BC ，AD ，MD ，BD ，PC ，PD ，CD ，显然PQ CD ⊥，设垂足为N ，又设A ，B 的半径均是ρ，C ，D 的半径分别为R ，()r R r ≠，则易得AC R ρ=-，BC R ρ=+，AD r ρ=-，BD r ρ=+，因为PQ CD ⊥，或MP CD ⊥，垂足为N ，则 ()()2222222MC MD CN NM MN ND -+-+=22CN ND =-2222()()PC PN PD PN =---2222PC PD R r =-=-．设AM x =，MB y =，对△CAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有 ()()22x BC y AC x y MC x y x y ⋅+⋅=+⋅++⋅ ()222x y MC x MB y AM =+⋅+⋅+⋅．①对△DAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有 ()22222x BD y AD x y MD x MB y AM ⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅．②①-②，得()()()()()()22222222x BC BD y AC AD x y MC MD x y R r ⋅-+-=+-=+-，即 ()()()()()()222222[][]x R r y R r x y R r ρρρρ⋅+-++⋅---=+-， 亦即 ()()20x y R r ρ⋅-⋅-=．因0ρ≠，R r ≠，从而0x y -=，即x y =． 故AM MB =，即直线PQ 平分线段AB ．2．求解三角形问题的一种工具斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A 中的第6题，习题B 中的第7题等可以看出．在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用．例11 设ABC △的三边为a ，b ，c ，其面积为S，则222a b c ++≥，当且仅当ABC △为正三角形时，等式成立． （IMO -3试题） 证明 取BC 的中点D ，对ABC △及BC 边上的点D ，应用斯特瓦尔特定理的推论2， 有 2222222111111224224AD AC AB BC b c a =+-=+-．从而有22222322a b c AD a AD a ++=+=⋅≥．设ABC △的BC 边上的高为h ，则AD h ≥，于是122AD a a h ⋅⋅⋅=≥．故222a b c ++≥，其中等号当且仅当22322AD a =且AD h =时成立，也即AD BC ⊥且AD =，此时ABC △恰为正三角形．例12 如图4-13，在ABC △中，D ，E 分别为AC 和AB 同方向延长线上的点，BD 与CE 相交于P ，且BD CE =．当P 在BC 边的中线上时，则AB AC =．EDC B APQ图4-13证明 设AP 交BC 于Q ．分别对△BPQ 及点A 和△CPQ 及点A 应用斯特瓦尔特定理的推广结论，有222AQ APBA BP BQ AP AQ PQ PQ =-⋅+⋅+⋅， 222AQ APCA CP CQ AP AQ PQ PQ=-⋅+⋅+⋅． 于是()()222222AQ APBA CA CP BP BQ CQ PQ PQ-=-⋅+-⋅． 由于BD CE =，对△PBC 及点A 应用塞瓦定理，有1QB EC DP QC EP DB ⋅⋅=，即PD QCPE QB=． 当P 点在BC 边上的中线上时，有BQ QC =．从而PD PE =，由此知PC PB =，故AB AC =．例13 如图4-14，若D 是ABC △的边BC 延长线上一点，则AD 平分A ∠的外角的充分必要条件是2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．DCBAF图4-14证明 必要性：若AD 平分A ∠的外角，则由推论4即有 2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导．充分性：设直线AD 交ABC △的外接圆于E ，连BE 、CE ．由割线定理有BD CD AD ED ⋅=⋅，并将其代入条件式2AD BD CD AB AC =⋅-⋅可得 ()AD ED AD AB AC -=⋅．由此可知E 必在DA 的延长线上（因0ED AD ->）． 于是AD AE AB AC ⋅=⋅． ① 由△ACD ∽△BCD ，有AC BD AD BE ⋅=⋅． ② 由①⨯②得 AE BD AB BE ⋅=⋅． ③ 又由△ECD ∽△BAD ，有EC AD CD AB ⋅=⋅． ④ 由①÷④得，AE CD AC CE ⋅=⋅． ⑤由③-⑤得，AE BC AB BE AC CE ⋅=⋅-⋅． 对四边形EBCA 应用托勒密定理，有 AE BC AB CE AC BE ⋅=⋅-⋅．于是AB CE AC BE AB BE AC CE ⋅-⋅=⋅-⋅． 即()()0AB AC CE BE +-=，从而CE BE =．因此CAD EBC ECB EAB ===∠∠∠∠． 故AD 平分A ∠的外角． 例14 如图4-15，设正ABC △的内切圆圆心为I ，半径为r ，在I 内任取一点P ，设点P 到BC ，CA ，AB 的距离分别为1d ，2d ，3d（《数学通报》问题1356题）I d 3d 2d 1D CBAP图4-15证明 设正三角形ABC 的边长为1，则123d d d ++2IA IB IC r ====． 连AP 并延长交BC 于D ，则由题设知 32APB APC S d BD DC S d ==△△， ()1123131BPC BAC BPC S d d DP PA S S d d d d d d ===-+++-△△△． 由于BI IC =，BA AC =，对△BIC 及边BC 上的点D ，对ABC △及边BC 上的点D ，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有2222ID IB BD DC AD AB BD DC =-⋅=-⋅，．又由32d BD DC d =，知332323d d BD BC d d d d =⋅=++，223d DC d d =+． 于是()22322313d d ID d d =-+，()2232231d d AD d d =-+． ①又对△AID 及边AD 上的点P 应用斯特瓦尔特定理，有 222PA DPIP ID IA DP PA AD AD=⋅+⋅-⋅．由123d DP PA d d =+，知23123d d PA AD d d d +=++，1123d DPAD d d d =++．将上述各式及①式代入②式，并注意IA，123d d d ++=123444d d d =+，有 222DP PAIP IA ID DP PA AD AD=⋅+⋅-⋅ ()2232312133123231133d d d d d DP PAAD d d d d d d AD ADd d ⎡⎤+⎢⎥=⋅+-⋅-⋅⋅+++++⎢⎥⎣⎦ ()()()12312323232212323122123231113d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎡⎤+++⎢⎥=⋅-⋅-⋅-++++++++⎢⎥⎣⎦()()2312312323414333d d d d d d d d d -=-+-+ ()()()23112323414333d d d d d d d d =-+-+ ()1213231433d d d d d d =-++． 即 ()21213231143IP d d d d d d ⎡⎤=-++⎣⎦． 于是，()2221231213232d d d d d d d d d ---+++ ()()21231213234d d d d d d d d d =-+++++()()22231334IP r IP =-+-=-．此式可写成为=()223r IP -． ③由于P 点在I 内部，则220r IP ->，从而，必有0-0>0>．如若不然，0<，0，则0+<，即0<与已知矛盾，则知>++可见，以，，为边可以构成三角形，且由海伦—秦九韶公式及③式知其面积为 【模拟实战】习题A1．在ABC △中，2AB AC ==，BC 边有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，记22i i i m AP BP PC =+⋅（i =1，2，…，100），求12100m m m +++…的值．2．在ABC △中，C ∠的平分线交AB 于D．证明：CD <．（匈牙利中学生数学竞赛题） 3．在ABC △中，D 是BC 边上的点，已知13AB =，12AD =，15AC =，5BD =，求DC ． 4．在ABC △中，AB =AC 2BC =，设P 为BC 边上任一点，则（ ） A ．2PA PB PC <⋅B ．2PA PB PC =⋅C ．2PA PB PC >⋅D ．2PA 与PB PC ⋅的大小关系不确定5．D 是ABC △的边AC 上的一点，且21AD DC =∶∶，45C =︒∠，60ADB =︒∠，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．6．设ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++．设a m ，a h 分别为BC 边上的中线长和高线长；a t ，at '分别为BC 边所对的角的内、外角平分线长．求证下列各式：（Ⅰ）a m（Ⅱ）a t（Ⅲ）a t '=（Ⅳ）a h 7．在ABC △中，2AB BC =，2B A =∠∠，求证：ABC △是直角三角形． 8．证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心．习题B1．设，，分别是共线的三点A ，B ，C 对于O 所作切线的长．求证：a BC ⋅+c AB b AC BC AC AB ⋅-⋅=⋅⋅．2．锐角ABC △的外接圆过B ，C 的切线相交于N ，点M 是BC 的中点．求证：BAM =∠ CAN ∠．（IMO -26预选题） 3．1PT 和2PT 是O 的割线，分别交O 于1S ，2S ，且12PT PT =，过P 的直线交O 于Q ，R （Q 在R 与P 之间），交12TT ，12S S 于T ，S ．求证1111PQ PR PS PT+=+． 4．A ，B ，C ，D 四点在同一圆周上，且4BC DC ==，6AE =，线段BE 和DE 的长都是整数，求BD 的长．5．在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 点在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到多少？6．设凸四边形的边长是a ，b ，c ，d ，对角线长是e 和f ．求证：2min{,,,}a b c d 当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立．7．设I ，O ，G ，H 分别为ABC △的内心，外心，重心，垂心，令BC a =，CA b =，AB c =，()12p a b c =++，R ，r 分别为外接圆和内切圆的半径．求证下列各式： （Ⅰ）222a IA b IB c IC abc ⋅+⋅+⋅=； （Ⅱ）2222abcIO R R Rr a b c=-=-++；（Ⅲ）()()()()22222222221222918IG a b c b c a c a b a b c abc p ⎡⎤=+++++-++-⎣⎦()2222254318p a b c Rr =-++-；（Ⅳ）()22222142IH R a b c abc p=-+++． 8．已知ABC △满足2ACB ABC =∠∠，设D 是BC 边上一点，且2CD BD =．延长线段AD 至E ，使AD DE =．证明：1802ECB EBC +︒=∠∠．（IMO -39预选题） 第四章 斯特瓦尔特定理应用答案习题A1．因AB AC =，由斯特瓦特定理推论1，有22i i i AP AB BP PC =-⋅，则22i i i AP BP PC AB +⋅=，即224i i i im AP BP PC AB =+⋅==，即121004100400m m m ++=⋅=…．2．由CD 平分ACB ∠，由斯特瓦特定理推论3，知2CD CA CB AD DB CA CB =⋅-⋅<⋅，故CD <3．由斯特瓦尔特定理，有222CD BDAD AB AC BD DC BC BC=⋅+⋅-⋅．设DC x =，则5BC x =+，则2225121315555x x x x=⋅+⋅-++，解得19x =（舍去29x =-）．4．由斯特瓦尔特定理，有222222PC PB PC PBPA AB AC PB BC PB BC BC =⋅+⋅-⋅=⋅+⋅-⋅4PC PC PB PB PC =+-⋅，242PA PB PC PC PB PB PC ∴-⋅=+-⋅，又2PB PC =-，则2PA PB -⋅22115422(2)222(2)2()048PC PC PC PC PC PC PC PC PC =+---⋅=-+=+=-+>，故选（C ）． 5．由21AD DC =∶∶，由斯特瓦尔特定理推论5，有2222122359BD AB BC AC =+-．由45C ∠=︒，60ADB ∠=︒，及sin sin BD BCC BDC =∠∠，有2232BD BC =． 又由21AD DC =∶∶，有232AC AD AC =⋅．于是有2AB AD AC =⋅，由切割线定理即证．6．设P 为ABC △的BC 所在直线上任一点，且1BP BC λ=∶∶，有斯特瓦尔特定理推论5，有2222(1)(1)AP λλa λb λc =-++-． 12λ=时，a AP m =即得（Ⅰ）； 当cλb c =+时，a AP t =，即得（Ⅱ）当1λb c =-时，a AP t '=，即得（Ⅲ）；当22222a b c λa-+=时，a AP h =，即得（Ⅳ）． 7．作B ∠的平分线交AC 于D ，则2AD ABDC BC==，对ABC 及AC 边上点D 应用斯特瓦尔特定理推论3，有2BD AB BC AD DC =⋅-⋅，即222(2)22DC BC DC =-，即2213DC BC =，又2222()93AC AD DC DC BD =+==，从而22224AC BC BC AB +==，故ABC △为直角三角形．8．设G 为三条中线AD ，BE ，CF 的交点，P 为ABC △所在平面上任一点．不妨设P 在ABC △内，连PA ，PB ，PC ，PD ，PG ，对APD △及点G 应用斯特瓦尔特定理，有 222PA DG PD AG PG AD AG GD AD ⋅+⋅=⋅+⋅⋅．由12DG AG =，32AD AG =，则22223322PG PA PD AG =+=． ①在PBC △和GBC △中，D 为BC 中点，应用斯特瓦尔特定理推论2，则2222111224PD PB PC BC =+-，2222111224GD GB GC BC =+-，此两式相减，并注意12GD AG =，222222111()()224PD PB PC GB GC AG =+-++，代入①式，得2222223()()PG PA PB PC GA GB GC =++-++．显然，当P 异于G 时，横有222222PA PB PC GA GB GC ++>++．故到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心． 习题Ｂ1．设O ⊙的半径为r ，连OA ，OB ，OC ，对OAC △及AC 边上的点B ，应用斯特瓦尔特定理，有222OA BC OC AB OB AC AB BC AC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，而22OA r α=+，22OB r b =+，22OC r c =+，于是 222()()()r a BC r c AB r b AC AB BC AC +⋅++⋅=+⋅+⋅⋅，化简即得结论．2．对ABC △及BC 边上的点M ，应用斯特瓦尔定理推论1，有22221(22)4AM AB AC BC =+-，cos 2cos BM BC BN A A==∠∠．又2222222cos 4cos BC AN AB BN AB BN ABN AB A =+-⋅⋅∠=+∠ cos (cos cos )cos C AB BC ABN C A ∠+⋅⋅∠=-∠∠，于是222221cos cos 4AN A AB A BC ⋅∠=⋅∠++cos cos AB BC C A ⋅⋅∠⋅∠而cos cos cos()sin sin sin sin sin A C A C A C A C B ∠⋅∠=∠+∠+∠⋅∠=∠⋅∠-∠，则222222221cos cos sin sin cos (cos sin )4AN A AB A BC AB BC A C AB BC A AB A A ⋅∠=⋅∠++⋅⋅∠⋅∠-⋅⋅∠=⋅∠+∠22222222111()(22)424BC AB BC AC AB AC BC AM +-⋅+-=+-⋅（其中sin sin BC C AB A ⋅∠=⋅∠），即cos AM CM A AN CN =∠=，sin(180)sin AN A C CN CAN ︒-∠-∠=∠，又BM CM =，且sin sin AM BBM BAM ∠=∠，故sin sin BAM CAN ∠=∠，即证． 另证：设AN 交圆于D ，连BD ，CD ，对四边形ABCD 应用托勒密定理，有AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅+⋅，由ACN CDN △∽△，ABN BDM △∽△，有AC AN CD CN =，AB ANBD BN=，而BN CN =，则AC BD AB ⋅=⋅ CD ．注意到2BD BM =，有22AD BM AB CD ⋅=⋅，即AD ABCD BM=，又ABM ADC ∠=∠，从而ADC ABM △∽△，故NAC BAM ∠=∠．3．由12PT PT =及1122PT PS PT PS ⋅=⋅，有12PS PS =，从而1212TT S S ∥，即11PS PT PS PT=，而 11PT PS PQ PQ ⋅=⋅3，则21PSPS PQ PR PT=⋅⋅，对12S PS △及12S S 边上的点S 应用斯特瓦尔特定理推论1，有22112PS PS S S SS =-⋅，又在O ⊙中12()()S S SS RS SQ PR PS PS PQ ⋅=⋅=--，故2()()PSPS PQ PR PR PS PS PQ PT=⋅⋅---，故1111PQ PR PS PT +=+． 4．对ABCD △及BD 边上的点E ，应用斯特瓦尔特定理或其推论1，有22244BE DECE BD BD=⋅+⋅-161616166BE DEBE DE BE DE BE DE AE CE CE BD+⋅=⋅-⋅=-⋅=-⋅=-．解得2CE =（负值舍去）． 于是12BE DE CE AE ⋅=⋅=，而8BD BC CD <+=，即3BE =，4DE =或4BE =，3DE =，故7BD =． 5．由2BE CE =∶，对BCP △及BC 边上的点E ，应用斯特瓦尔特定理的推论5，有22212233PE PB PC =+-．对BCD △及BD 边上点P 应用推论1，有2229PC BC BP PD PB =-⋅=+-，于是224PE PB =-+，故PE PC +．令PB x =，上式表示x 轴上动点(,0)Q x 到两定点A ，,B 的距离之和，当Q 为线段AB 与x 轴交点,0)时，即PB 时，PE PC + 6．设凸四边形ABCD 的对角线交点为E ．令AB a =，BC b =，CE c =DA d =，AC e =，BD f =，AE g =，BE h =，CE k =，DE l =．不妨设h l ≤，则在ABC △中，有{}2222min ,a k bga b kg h k g+≤=++（斯特瓦尔特定理）22221()()()224k g h l e f ++≤+=+，于是{}{}2min ,,,2min ,a b c d a b ≤=，当且仅当a b =，g k =，h l =， {}{}min ,min ,a b c d ≤时等号成立，即ABCD 为菱形．7．由于四个结论都与内心I 有关，不妨设AD 平分A ∠交BC 于D ，显然I 在AD 上．设P 为ABC △所在平面内任一点，连PB ，PD ，PC ，PI ，注意到ac BD b c =+，abCD b c =+，对PBC △及边上点D 应用斯特瓦尔特定理，有22222()b c a bc PD PB PC b c b c b c =⋅+⋅-+++． 又AI c b b cID BD CD a+===，有2b c AI AD p +=，2a ID AD p =，而224()()bcp AD p a b c =-+，对PAD △及AD 边上点I 应用斯特瓦尔特定理，有222()22()b c a abc p a PI PD PA p p p b c +-=⋅+⋅-+．将2PD 表达式代入上式，得2222a PAb PBc PC abcPI a b c⋅+⋅+⋅-=++．（Ⅰ）当P 与I 重合时，由①式即证（Ⅱ）当P 为外心O 时，PA PB PC R ==+，由①式即证．（Ⅲ）当P 为中心G 时，2222241(22)99a PA GA mbc a ===+-，等等．由①式即证、（Ⅳ）当P 为垂心H 时，22222222cot (csc 1)4PA HA a A a A R a ==⋅∠=∠-=-，等等．由①式即证．8．设CD 的中点为H ，则ABEH 是平行四边形，延长BC 至G ，使CG CA =．设3aBD DH HC ===，CA b =，AB c =，BE AH x ==，AD DE y ==，CE z =．由2ABC ACB CGA ∠=∠=∠+22CAG CGA CAG ∠=∠=∠，则ABG CAG △∽△．于是有AB CABG AG=或2()c b a b =+． ① 在ACD △，ABH △，CDE △中分别应用斯特瓦尔特定理推论2，得2222229b y x a +=+，2222229x c y a +=+，2222229y z c a +=+．从前两式中消去y ，有222222243x c b x a ++=+，将①式代入得22()()33a x b a b =+-．再求得23z b a =+，故有2()x z z a =-或2()BE CE CE BC CE EP =-=⋅．这里P 是CE 上一点，且满足CP BC =．故BE EPCE BE=，又BEP CEB ∠=∠，知BEP CEB △∽△，从而 1(180)2ECB EBP EBC ECB ∠=∠=∠-︒-∠．故1802ECB EBC ∠+︒=∠．。