第31卷 第15期2009年8月武 汉 理 工 大 学 学 报JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGYVo l.31 N o.15 A ug.2009DOI:10.3963/j.issn.1671-4431.2009.15.036平稳自回归模型的系数估计与应用张子杰1,张 晖2,高淑荣1(1.河北工程技术高等专科学校,沧州061001;2.中国铁路物资总公司,北京100032)摘 要: 在自然科学及经济学的很多领域,需对以往记录的数据进行时序分析,确定出随机模型,然后对未来可能出现的结果进行预报。
A R (n ,0)是适应范围较广的一类模型,使用时必须由样本对参数作出估计。
文中对A R (n ,0)模型的参数估计公式进行推导,并用一个实例给出A R (3,0)模型在预报问题中的应用。
关键词: 时间序列; AR 模型; 自相关函数; 自回归方程中图分类号: T B 114文献标识码: A文章编号:1671-4431(2009)15-0135-03Paper Makes Estimation and Application on Coefficient forStable Automatic Regression ModelZH AN G Zi -j ie 1,ZHAN G H ui 2,GAO Shu -rong 1(1.Hebei Engineering and T echnical College,Cang zhou 061001,China;2.China Railw ay M ater ials Co mmercial Co rp,Beijing 100032,China)Abstract : In many fields of natur al science and economics,the previous recorded data are needed to have time -sequence analysis so as to determine the random model.T hen the predictio n is made on the would -be result.A R (n,0)is a w idely applied model,which makes estimation on coefficient by means of sample if applicable.T his is a deduction on the estimation formula for the coefficient o f A R (n,0)model and shows ho w A R (3,0)model is applied to prediction by means of ex ample..Key words: t ime series; AR model; sel-f relative function; autor eg ressive equation收稿日期:2009-03-26.作者简介:张子杰(1954-),男,副教授.E -mail:zhangzijie01@1 问题的提出在时序分析中,设X t 为平稳时间序列,称X t -U 1X t-1-U 2X t-2-,-U n X t -n =a t(1)为n 阶平稳自回归模型[1],记为A R (n ,0),称U 1、U 2,U n 为自回归系数。
A R (n ,0)模型是用概率统计的方法分析随时间变化的随机数据序列,描述平稳时间序列X t 自身某一时刻和前n 个时刻的相互关系。
由于它形式简单,用这种模型对数据进行拟合是比较方便的。
同时它还便于分析数据的结构和内在性质,也便于在最小方差意义下进行最佳预报。
因此,它的应用范围是广泛的。
但在使用模型解决实际问题时,应首先确定模型的系数。
在相关文献中,易查阅到自相关函数满足yule -w alker 方程[2],但未提及由样本确定自回归系数问题。
2 AR (n,0)模型的系数估计为方便起见,不妨设X c t 为中心化的平稳时间序列,则自回归模型A R (n ,0)可改写为X c t =U 1X c t-1+U 2X c t-2+,+U n X c t-n +a ct(2)其中误差a c t )N (0,R 2a )。
此时AR (n ,0)的系数满足yule-Walker 方程。
U 1+U 2Q (1)+,+U n Q (n -1)=Q (1)U 1Q (1)+U 2+,+U n Q (n -2)=Q (2),U 1Q (n -1)+U 2Q (n -2)+,+U n =Q(n)(3)方程组(3)的解U 1,U 2,,,U n 即为A R (n ,0)模型的系数。
在实际应用中,用样本自相关函数r (k )代替总体值Q (k ),得到U i 的估计值U ^i 满足的n 元方程组U ^1+U ^2r (1)+,+U ^n r (n -1)=r (1)U ^1r (1)+U ^2+,+U ^n r (n -2)=r (2),U ^1r (n -1)+U ^2(n -2)+,+U ^n =r (n)(4)式中r (k ),k =1,2,,n 由下式确定r (k )=1S 2(n -k)E n-k t=1X t X t+k(5)此处,X t 为中心化的样本值,S 2为样本方差[3]。
用递推法求式(4)的解,设式(4)的解U ^k =U ^nk (k =1,2,,,n)当n =1时,有 U ^11=r (1)当n =2时,有U ^21+U ^22r (1)=r (1)U ^21r (1)+U ^22=r (2)由克莱姆法则,并利用U ^11=r (1)得U ^22=r (2)-U ^11r (1)1-U ^11r (1)U ^21=U ^11-U ^22U ^11当n =3时,有U ^31+U ^32r (1)+U ^33r (2)=r (1)U ^31r (1)+U ^32+U ^33r (1)=r (2)U ^31r (2)+U ^32r (1)+U ^33=r (3)(6)可求得U ^31=U ^21-U ^33U ^22U ^32=U ^22-U ^33U ^21(7)将式(7)代入式(6)得U ^33=r (3)-U ^21r (2)-U ^22r (1)1-U 21r (1)-U 22r (2)一般地,设U ^ij 表示i 阶自回归模型的第j 个估计参数,由数学归纳法可得U ^n+1,n+1=r (n +1)-E nj =1U ^nj r (n +1-j )1-Enj =1U ^nj r (j )U ^n+1,j =U ^nj -U ^n+1,n+1U ^n,n+1-j j =1,2,,,n(8)将式(8)参数代入式(2),可得n 阶自回归预报方程X ^t =U ^1X t-1+U ^2X ^t -2+,+U ^n X t -n式中,X ^t 为中心化的估计(预报)值。
136 武 汉 理 工 大 学 学 报 2009年8月3 应用实例应用AR (3,0)模型,由水文站(数据资料是学生实习时得到的)给出的资料(见表1),对2005年流量作出预报。
表1 样本自相关函数计算表年份年平均流量Q t /(m 3#s-1)流量距平均值Q c t =Q t - Q k =0k =1k =2k =3(Q c t )2Q c t +1Q c t Q ct +1Q c t +2Q c t Q ct +2Q c t +3Q c t Q c t +31990590-45.32052.09-95.34317.09-95.34317.09-15.3693.091991540-95.39082.09-95.39082.09-15.31458.0984.7-8071.911992540-95.39082.09-15.31458.0984.7-8071.9124.7-2353.911993620-15.3234.0984.7-1295.9124.7-377.9124.7-377.91199472084.77174.0924.72092.0924.72092.09-15.3-1295.91199566024.7610.0924.7610.09-15.3-377.91-165.3-4082.91199666024.7610.09-15.3-377.91-165.3-4082.91-135.3-3341.911997620-15.3234.09-165.32529.09-135.32070.09-85.31305.091998470-165.327324.09-135.322365.09-85.314100.09194.7-32583.911999500-135.318306.09-85.311541.09194.7-26342.91184.724989.912000550-85.37276.09194.7-16607.91184.7-15754.9124.7-2106.912001830194.737908.09184.735961.0924.74809.09114.722332.092002820184.734114.0924.74562.09114.721185.09200366024.7610.09114.72833.092004750114.713156.09合计9530167773.3579069.26-4976.83-54474.92平均635.311184.895647.8-382.83-4539.581)均值 Q =115E 15t=1Q t =635.32)方差 S 2=115E 15t=1(Q c t )2=11184.893)自相关函数 r (k )=1S 2(15-k )E 15-kt=1Q c t Q ct +k k =0,1,2,3r (0)=1,r (1)=5647.8/11184.89=0.5049,r (2)=-382.83/11184.89=-0.0342,r (3)=-4539.58/11184.89=-0.4059。
4)回归系数U ^11=r (1)=0.5049 U ^22=r (2)-U ^11r (1)1-U ^11r (1)=-0.388U ^21=U ^11-U ^22U ^11=0.7008 U ^33=r (3)-U ^21r (2)-U ^22r (1)1-U ^21r (1)-U ^22r (2)=-0.2939U ^31=U ^21-U ^33U ^22=0.5868 U ^32=U ^22-U ^33U ^21=-0.1825)自回归预报方程 Q ^t =0.5868Q c t -1-0.182Q c t-2-0.2939Q ct-36)2005年预报值Q 05=Q ^05+ Q =0.5868Q c 04-0.182Q c 03-0.2939Q c02+ Q=0.5868@114.7-0.182@24.7-0.2939@184.7+635.3=643.88经检验,此预报与实际情况相符合。