2018-2019年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（一）一选择题1．已知a c、b、是不全相等的任意实数.若222,,x a bc y b ac z c ab=-=-=-，则x、y、z的值( )（A）都大于0；（B）至少有一个大于0；（C）至少有一个小于0；（D）都不小于0. 2．在复平面上，满足方程3zz z z++=的复数z所对应的点构成的图形是（）（A）圆；（B）两个点；（C）线段；（D）直线.3．设函数852()1f x x x x x=-+-+，则()f x有性质（）（A）对任意实数x，()f x总是大于0；（B）对任意实数x，()f x总是小于0；（C）当0x>时，()0f x≤；（D）以上均不对.4．若空间三条直线两两成异面直线，则与a b c、、都相交直线有（）（A）0条；（B）1条；（C）多于1的有限条；（D）无究多条5．设432()f x x ax bx cx d=++++,其中,,,a b c d为常数。

若(1)1,(2)2,(3)3f f f===,则1((4)(0))4f f+的值是（）。

（A）1 （B）4 （C）7 （D）86．设S 是由(5)n n ≥个人组成的集合，如果S 中任意4个人当中都至少有1个人和其余3个人互相认识，则下面判断正确的选项是（ ）。

A . S 中没有人认识S 中所有人B . S 中至少有1人认识S 中所有人C . S 中至多有2人不认识S 中所有人D . S 中至多有2人认识S 中所有人二 解答题7．已知2()f x x px q =++,求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于128．一袋中有a 个白球和b 个黑球，从中任取一球，如果取出白球，那么把它放回袋中；如果取出黑球，那么该黑球不再放回，另补一个白球到袋中，在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为n X . （1）求1EX ；（2）设()n k P X a k p =+=，求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+= （3）证明：11(1) 1.n n EX EX a b+=-++9．按要求完成下列各问 （1）设()1f x x nx =,求'()f x ; （2）设0a b <<，求常数C ，使得11ba nx C dxb a--⎰取得最小值； （3）记（2）中的最小值为,a b m ，证明：,12a b m n <.10．空间有n 个平面，每三个平面交于一点，但无四面共点，试问：这些平面将空间分成几部分？2018-2019年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（二）一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是( ) A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( ) A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则10(2)f x dx =⎰__________． 2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________． 5．函数3223y x x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．2018-2019年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（三）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________．2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0． 求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1nn x y =+其中x n ,y n 为整数，求n →∞时，n nxy 的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2018-2019年最新南京大学自主招生考试数学模拟考试精品试题（四）1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。

2. 已知,,a b c 是ABC 的三边，1a ≠，b c <，且满足log log 2log log b c c b b c c b a a a a +-+-+=，则ABC 是_______________的三角形。

3. 已知()887871031x a x a x a x a +=++++，则86420a a a a a ++++=_______________。

4. 已知()f x 满足：()()()111f x f x f x -+=+，则()f x 的最小正周期是_______________。

5. 已知()f x 是偶函数， ()2f x -是奇函数，且()01998f =，则()2000f =_______________。

6. ,,a b c 是ABC 的三边，且()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C =_______________。

7. n 是十进制的数，()f n 是n 的各个数字之和，则使()20f n =成立的最小的n 是_______________。

8. 7sin sin 12127cos cos 1212ππππ+=+_______________。

9. 函数()f x =()x R ∈的反函数是_______________。

10.已知数列n n n a k =（k 是不等于1的常数），则123n a a a a ++++=_______________。

11.从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______________。

（取出的数不分先后）12.己知()f x 在0x 处可导，则()()22003lim h f x h f x h h→∞+--=_______________。

13.已知,x y 为整数，n 为非负整数，x y n +≤，则整点(),x y 的个数为_______________。

14.抛物线()20y x x =>上，点A 坐标为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，抛物线在P 点的切线与y 轴及直线PA 夹角相等，求点P 的坐标。