A. a > 12.5 学 学5. 平面上动点 A( x, y) 满足 7. 设集合｛ +b ︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素与最小元素分别为 M 、m,则 M-m0)1⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 n ⨯ (n + 1)(n + 2)2014 年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题参考答案（2014 年 12 月 4 日下午 1:30—4:00）一、选择题（每题 6 分，共 36 分）1. 已知 a =- 6 + 6 - 4 22，则 a 3 + 6a 2 + 2a + 6 的值为（C ）名姓 姓A. - 2B. 2C. 6D. - 62. 已知 a, b , c 满足 2a - 4 + b + 2 + (a - 3)b 2 + a 2 + c 2 = 2 + 2ac ，则 a - b + c 的值为（ D ）A. 4B.6C.8D.4 或 83．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发， 匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这 样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的 倍，那么小强骑摩托 车的速度是小青步行速度的（ B ）.A. 2 倍B. 3 倍C.4 倍D. 5 倍4. 方程 2 x - 1 - 1 = a 的解的个数是 4，则 a 的取值范围为（ B ）1B. 0 < a < 1C. a > 1D. 0 < a <2 2校 x 5 + y3 = 1 ， B(-4,0) ， C (4,0) ,则一定有（ B ）A ． AB + AC < 10B ． AB + AC ≤ 10C ． AB + AC > 10D ． AB + AC ≥ 106. 函数 f(x)=ax 2+bx +c(a ≠ ，对任意的非 0 实数 a 、b 、c 、m 、n 、g 关于 x 的方程 m [f(x)]2+n f(x)+g =0 的解集不可能是( D ) A. {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8}二、填空题（每题 8 分，共 32 分）3a的值为 5-2√3 。
8. 化 简 ：1 1 11+ + ++=n 2+3n/4(n+1)(n+2)市县。
9. 在 ∆ABC 中， AB = 4 ,ACBC= 2 则 ∆ABC 的面积的最大值为 16/3 .10. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进 1 个白球，则第 4（3）当 的值等于多少时， △PFD ∽△BFP ？并说明理由．(3) 当 的值等于 1/2 时， △PFD ∽△BFP当 的值等于 1/2 时，AP=PB次恰好取完所有红球的概率为434/10000 .三 、 解 答 题 （ 共 82 分 ）11.（ 本题 12 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A ，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE ， PE 交边 BC 于点 F ，连接 BE ，DF ．（1）求证： ∠ADP = ∠EPB ； （2）求 ∠CBE 的度数；APAB证明: (1)在正方形 ABCD 中，∠A=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90° ∴∠EPB+∠APD=90° ∴ ∠ADP = ∠EPB ；(2)作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于 G, ∴∠PGE=∠A=90°又∵ ∠ADP = ∠EPB ，DP=PE∴⊿ADP ≌⊿PGE∴AD=PG=AB,AP=GE ∴AB-PB=PG-PB 即 AP=BG ∴BG=GE∴∠EBG=∠BEG=45° ∴∠CBE=45°APAB证明 ：∵∠A=∠PBF=90°、 ∠ADP = ∠EPB∴⊿ADP ∽⊿BPF ∴ DP/PF=AP/BFAPAB∴DP/PF=PB/BF ∴DP/PB=PF/BF∵ ∠DPE=∠PBF=90° ∴ △PFD ∽△BFP12.（本题 15 分）请用一个长方形纸片折出一个 30°的角（不借助任何工具）写出你的作法，并说明理由.A G DA'E FB H C作法：如图，将长方形纸片ABCD沿着一组对边中点对折得折痕EF再将∠A沿着过点B的直线折叠使点A落在折痕EF上的点A’处得折痕BG,,则∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°证明：延长GA’交BC于H,由作图知：AD∥EF∥BC AE=EB∠BA’G==90°=∠BA’H∴A’G=A’H又∵BA’=BA’∴⊿ADP≌⊿PGE∴∠GBA’=∠HBA’由折纸知∠ABG=∠GBA’，∠ABC=90°∴∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°13..（本题共20分）凸四边形ABCD内接于⊙O，其中AC为⊙O直径，AB=BC，已知BD=10.求：四边形ABCD的面积.E解：方法1记AC和BD的交点为E,∵AC为⊙O直径∴∠ABC=∠ADC=90°∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB=∠DAC=∠BDC=45°又∵∠ABE=∠DBA∠CDB=∠CAD∴⊿BAE∽⊿BDA⊿ADE∽⊿BDC∴AB/BD=BE/AB AD/BD=DE/DC∴AB2=BD×BE AD×DC=BD×DE∴AB2+AD×DC=BD×BE+BD×DE=BD(BE+DE)=BD2=102=100∴S=S+S=1/2AB×BC+1/2AD×DC=1/2(AB2+AD×DC)=50四边形ABCD⊿ABC⊿ADC方法2：设圆的半径为R,则AC=2R,AB=BC=√2R运用托勒密定理可得AB×CD+BC×AD=AC×BD即√2R×CD+√2R×AD=2R×10从而得AD+CD=10√2S四边形ABCD =S⊿BAD+S⊿BCD=1/2BD×AD×Sin45°+1/2BD×CD×Sin45°=1/2BD×Sin45°(AD+CD)=1/2×10×√2/2×10√2=50方法3：可分别过点A、C作BD上的垂线段AE、CF 用⊿ABE≌⊿BCF可以得到AE+CF=BD=10方法4：过点A作BD的垂线垂足为E,交圆于F,连接CF,用圆周角，弧，弦得关系可证AF=BD=10S=1/2BD×AF=50四边形ABCD方法5：在4得到AD+CD=10√2后，将他平方得AD2+CD2+2AD×CD=200由勾股定理AD2+CD2=AC2=2AB22AB2+2AD×CD=200S四边形ABCD =S⊿ABC+S⊿ADC=1/2(AB2+AD×DC)=5014.（本题20分）如图，抛物线y=ax2+bx-1经过A（-1,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC 于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.（2）如图1，当点P的横坐标为23时，求证：△OBD∽△ABC.（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积.（4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标.y y yE EA O DB x A O D B x A O B xPC P C C图1图2备用图证明：（2）∵点 P 的横坐标为 ，即 x=2 时 y =-10/9 . 解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为 y=1/2x 2-1/2x -1直线 BC 的表达式为 y=1/2x -12 Py D =-2/3 ∵ED= 3y D -y P =2/3=OE ∴∠EOD=∠EDO= 45°又∵OA=OC=1∴∠OAC=∠OCA= 45° ∴∠OAC=∠EOD 又∵∠OBD=∠ABC ∴ △O BD ∽△ABC.（3） OE =2PE OE=x PE=-y=-1/2x 2+1/2x +1)2(-1/2x 2+1/2x +1)= x解得 x 1=-√2(舍去) x 2=√2 即 OE= √2 PE=√2/2， DE=y D =√2/2-1 PD=PE-DE=1s △POD =1/2PD ×OE=√2/2(4) 点 P 的坐标为：（2√5/5， 3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）或（4/5，-37/25） 或（1，-1）15.（本题 15 分）证明：不存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立。
证明：假设存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立，则关于 x 得一元二次方程 x 2+3xy-(2y 2+122)=0 在 y 是整数时有整数解，于是⊿=（3y ）2+4 (2y 2+122)=17y 2+488 是完全平方数，设 m 2=17y 2+488=17(y 2+28)+12m 2-12=17(y 2+28) 故 m 2-12 能被 17 整除，显然，整数 m 不能被 17 整除，再设整数 m=17n+p,其中 n 为任意整数，|P|=1、2、3、 (8)m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 其中 17（17n 2+2nP ）能被 17 整除 而当|P|=1、2、3、…8 时，p 2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52 都不能被 17 整除，所以 m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 一定不能被 17 整除， 这就与前面所说 m 2-12 能被 17 整除相矛盾，所以假设“存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立”是错误的；所以不存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立。
初中组 13 题和高中组的一题，有些解题方法很相似附：高中组中平面几何证明E方法1:用相似三角形记AB、PC得交点为E设正三角形边长为a，易证：⊿PAE∽⊿PCB⊿ACE∽⊿PCA∴PA×PB=PE×PC AC2=CE×PC∴PA×PB+AC2=PE×PC+CE×PC=PC(PE+CE)=PC2∴PC2-PA×PB=AC2=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a，由特勒密定理得：PC×AB=AP×BC+BP×AC即aPC=aAP+aBP所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法3：用余弦定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为△a在APC、BPC、APB中，∠APC=∠BPC=60°∠BPA=120°根据余弦定理得：a2=PA2+PC2-2PA×PC×COS60°=PA2+PC2-PA×PC(1)a2=PB2+PC2-2PB×PC×COS60°=PB2+PC2-PB×PC(2)a2=PA2+PB2-2PA×PB×COS120°=PA2+PB2+PA×PB(3)由（1）-（2）得：（PA2+PC2-PA×PC）-（PB2+PC2-PB×PC）=0整理得：PA×PC-PB×PC=PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法4:构造全等三角形（如图做辅助线可通过全等证明PC=PA+PB）A APPB C B C。