（11-4） （11-5）
第十一章 云纹法
光测力学
一般情况下，云纹条纹指的就是等差条纹，条纹级数 由两栅的栅线序数之差决定。
第十一章 云纹法
光测力学
根据图中几何关系可得节距为p1和p2的栅线方程各为
x lp1
x mp2 y tan cos
（11-6） （11-7）
将式(11一6)和(11—7)代入式(11—5)，得到云纹条纹的数 学表达式为
C
p1 p2
A2 B2
p12 sin2 p2 p1 cos 2
（11-9）
第十一章 云纹法
光测力学
当 0即两栅主方向完全重合，这时的云纹条纹是由
于两栅的节距不等引起的，条纹与两栅线平存，称作平行 云纹，其条纹间距为
x
p1 p2 p2 p1
（11-10）
当 p1 p2 p 即两栅节距相等并相对转动一微小角度
第十一章 云纹法
光测力学
二、反射云纹法
在薄板弯曲计算中，斜率可以从挠度云纹图的微 分中获得，也可用反射云纹法直接获得斜率等值线云 纹图。
第十一章 云纹法
有
Np 2(1 tan2 )
L
得到斜率表达式
w Np w
Np
x 2L x
2L 1 tan2
光测力学 （11-26）
从式（11-26）得到
（11-22）
第十一章 云纹法
光测力学
系数 a0 , a1, a2...的选取使得位移函数在
与该点上的云纹位移值 zi 之差最小，即
xi
点上的值 u(xi )
a j
m i 1
u(xi )
zi
2
0,
j
0,1, 2,..., n
m是所取坐标点的个数
这样便得到以n+1个线性方程，借助计算机可解得位 移函数的全部系数。为了提高拟合精度，可采用正交多 项式为基函数，还可采用分段样条函数为基函数。
第十一章 云纹法
§11—7面外云纹法
一、影像云纹法
利用栅线 与栅线本身的 投影相重叠所 得到的云纹条 纹，称为影像 云纹．
光测力学
第十一章 云纹法
光测力学
图11-13中，设OB包含有m个栅线节距，OD包含有l个栅 线节距，即OB=mp，OD=lp
则 BD=OD-OB=(l-m)p=Np
由图 BD w(tan tan )
I0
1 cos 2
f1x cos 2
f2x
1 2
cos 2
f1
f2 x
1 2
cos 2
f1
f
2
x
或写成
I
I0
1
cos 2 l
cos 2 m
1 2
cos 2
(l
m)
1 2
cos 2 (l
m)
（11-3）
第十一章 云纹法
光测力学
令
N l m
N lm
称为等和条纹与等差条纹的级数方程,
N 和 N 称为条纹级数
u u 0 （11-16） x y 同样，对于u位移场， 应满足
u u 0 （11-17）
x y
第十一章 云纹法 例11-1，判别图11—8：云纹图中的奇异点。
光测力学
A:隐没的马鞍点; B:显露的椭圆点; C:隐没的椭圆点; D:显露的椭圆点;
第十一章 云纹法
§11-5零偏导数线及条纹级数的确定
w Np x 2L
（11-27）
第十一章 云纹法
§ll一8试件栅的制作
一.振幅型试件栅
光测力学
第十一章 云纹法 二、位相型衍射试件栅
光测力学
y x
由位移式（11-12）对x和y求偏导数，得
v v Np , y Np
y y y
v / y
同理得
v v Np , x Np
x x x
v / x
第十一章 云纹法
光测力学
则
tan v
Np v / y
/
Np v / x
v v
/ /
x y
（11-18）
式（11-18）将v场云纹图中某点的条纹切线斜率与该点 的两个偏导数联系起来，得到以下两点结论：
一、云纹条纹与位移的关系
光测力学
第十一章 云纹法
光测力学
图11—5所示栅线主方向是沿y轴的方向，所以给出的是v 位移场。按照云纹条纹的物理意义，很方便地得到位移计 算公式
v Np(N 0, 1, 2,...)
（11-12）
如果将栅线主方向平行于x轴方向，得到的是u位移场， 同理．可得位移计算公式为
第十一章 云纹法
光测力学
第十一章 云纹法
光测力学
三、曲线拟合与曲面拟合
采用最小二乘位移曲线拟合法，直接给出位移函数的近 似表达式，再获得偏导数函数的表达式，避免了作图误差， 是云纹应变分析的另外一个常用方法。
设多项式为位移函数的基函数
u(x) a0 a1x a2 x2 ... an xn
x
u x
u x
M x
p
x
u y
u y
M y
p
对于v位移场，存在类似的应变式
y
v y
v y
N y
p
y
v x
v x
N x
p
第十一章 云纹法
§ll一4 云纹条纹图的位移曲面比拟
一、云纹条纹是位移曲面等高线的投影
光测力学
第十一章 云纹法 二、奇异点
光测力学
奇异点的一般定义：沿 所有方向位移偏导数为 零的点。对于v位移场， 奇异点应满足
第十一章 云纹法
§11-2 云纹条纹的形成
光测力学
所示的栅线特性可用它的透射光强函数表征。理想 栅线的透射光强分布是一方波函数(图11-2)，可用余弦 函数展开式表达为
I
a0
a1
cos
2 x
p
a2
cos
4 x
p
a3
cos
6 x
p
.....
第十一章 云纹法
光测力学
实际情况中，由于制造上的误差．展开式总是有限 项。为分析方便，栅线的透射光强函数可用前两项表 示．设两块栅线的节距分别为p1和p2，则频率分别为 f1=1／p1和f2==1／p2．透射光强函数可写成
光测力学
第十一章 云纹法
光测力学
§11-6 应变分析
一、欧拉坐标系
由于云纹图反映的是物体变形后的位移场，因此 应变分析云纹法采用的是欧拉坐标系，将直角坐标定 在云纹图上．这时．应变的定义为
Np 2(1 tan2 ) E l f li
L
lf
（11-19）
第十一章 云纹法
光测力学
第十一章 云纹法
这时的云纹条纹是由于栅线的相对转动引起的，条纹与两 栅线几乎垂直，称作转角云纹，其条纹间距为
y
1
21 cos
p
p
2 2sin2
2
2sin
2
（11-11）
第十一章 云纹法
一般情况下， 变形总是不均匀的， 因此一般结构的云 纹图是上述二种基 本云纹图的组合叠 加。
光测力学
第十一章 云纹法
§11-3云纹条纹与位移和应变的关系
第十一章 云纹法
光测力学
两根亮(暗)线之间的距离称作栅线的节距(p)
单位长度内的节距数称作栅线频率(f)，即 f 1 p
垂直于栅线的方向称作是栅线的主方向；平行于栅 线的方向称作是栅线的次方向：只有一个主方向的栅线 称作单栅线(图11—1)；具正交两个主方向的栅线称作 正交栅。
云纹条纹产生的基本条件是，必须有两块透射光强 具有一定周期分布的栅线重合在一起。
1.当v 0 即云纹条纹切线与x轴平行时, tanv 0 ,
由于偏导数总是有限值，v 故
y
v 0 x
2.当v 90°即云纹条纹切线与x轴平时, 由于偏导数总是有限值， v 故 v 0
tan v
,
y
x
第十一章 云纹法
光测力学
根据以上原则，可得零偏导数点的判别准则：如果 某点条纹的切线平行于，y轴(或x轴)，则位移对y(或x) 的偏导数为零，这些点的轨迹形成零偏导数线。
因此 w
Np
tan tan
第十一章 云纹法
由几何关系得到
w
x
Np d
x
Np(z w) d
zw zw
解得
w
d
Np Np
zz
光测力学
第十一章 云纹法
光测力学
实验中，如果按d>>Np的要求布置光路，则有
w Nzp d
（11-23）
相邻两条纹的高度差为常数，即
w zp d
（11-24）
第十一章 云纹法
I1 1 cos 2
x p1
1 cos 2
f1x 1 cos 2 l
（11-1）
I2
1 cos 2
x p2
1 cos 2
f2x 1 cos 2 m
（11-2）
(l,m是栅线线条的序数)
第十一章 云纹法
光测力学
透射强度为
I I0I1I2 I0 1 cos 2 f1x cos 2 f2x cos 2 f1x cos 2 f2x
x x cos y sin N
p1
p2
（11-8）
即
( p2 p1 cos )x yp1 sin Np1 p2 0
第十一章 云纹法
与式 Ax By C 0 比较，可得
A ( p2 p1 cos ) B p1 sin
C Np1 p2