v2+
1 2
kx2 =
E( v
表示物体的振
动速度, x 表示物体离开平衡位置的位移) 变形
图
( 2) 式两边平方有: 2kEx2= Cos2U, ,( 3) ( 2) 式微分 dx= 2kESinUdU,,( 4) ( 3) ( 4) 两式代入( 1) 式后化简:
X 收稿日期: 2000- 11- 05 作者简介: 蔡群( 1963- ) , 女, 浙江温州人, 副教授, 主要从事物理教学及研究
k m
,
可得二阶常系数线性齐次微分方程
dd2tx2 + X2x= 0 , ,( 1)
方程( 1) 的特征方 程为: r2 + X2 = 0 它有两
个复根 r= ? iX
方程( 1) 式的两个特解为
x1= e+ iXt , x2= = e- iXt
其通解 为: x = C1e+ iXt + C2e- iXt , ,( 2)
第 3卷
=
A21+ A22(
A1 A 21+
A22 CosXt
+ A2 SinXt) , ,( 3) A21+ A22
( A1= C1+ C2, A2= C1- C2 为常数)
令 A=
A 21+ A22 CosU0=
A1 A21+ A22
SinU0
=
A2 A21+ A22
代入( 3) 式得
x= A( CosU0CosXt+ SinU0SinXt ) 根据三角函数和角公式, 同样得到弹 簧振
( C1, C2 为常数)
根据欧拉公式
e(A? iB) x= ( CosBx ? iSinBx) eAx
有 e ? iXx= CosXt ? iSinXt 代入( 2) 式
x= ( C1+ C2) CosXt+ C1- C2) iSinXt
= A1CosXt + A2iSinXt
6
蒙自师范高等专科学校学 报
2E mgL
Cos (
g L
t+
U0)
令 A= m2gEL, X= 单摆的运动方程
g L
代入(
13
)
式可得到
H= ACos( Xt + U0) 的形式.
2 应用牛顿第二运动定律
2. 1 弹簧振子:
物体 m 总是受到 回复力 f 的作用, 根据胡
克定律及牛顿第二运动定律得-
kx=
m
d2x dt2
,
并
设 X2=
参考文献: [ 1] 梁绍荣. 刘昌年. 盛正 华. 普 通物理学[ M ] . 第 一分
册. 力学. 北京: 高等教育出版社, 1995. 299- 303. [ 2] 顾 建 中. 力学 教 程[ M] . 北 京: 高 等 教育 出 版社,
1985. 150- 162. [ 3] 孙庆元. 力学 [ M] . 青岛: 海 洋出 版社, 1992. 197-
第3卷 第2期 2001 年 4 月
蒙自师范高等专科学校学报 Journal of Mengzi T eachers. College
Vol. 3 No. 2 Apr. 2001
简谐振动运动方程的推导X
蔡 群1 刘 燕2
( 1) 蒙自师范高等专科学校物理系, 云南 蒙自 661100; 2) 云南师范大学物理系, 云南 昆明 650031)
ddHt )
2+
1 2
mgLH2=
E , ,( 6)
( 6) 式变形后
ddHt = m2EL2( 1- m2gELH2) , ,( 7)
令 m2gELH= - CosU, ,( 8) ( 8) 式平方m2gELH2= Cos2U, ,( 9)
( 8) 式微分 dH=
2E mgL
SinUdU,
,(
10)
社, 1988. 381- 385. [ 7] 四川大学数学系. 高等数学教研组编. 高等数学第
一册[ M] . 北京: 人民教育出版社, 1978. 228- 232. [ 8] 赵 凯 华. 罗蔚 茵. 力 学 [ M ] . 北 京: 高 等 教育 出 版
社, 1995. 125- 129.
Derivation of Simple Harmonic Motion Equation
CAI qun1 LIU Yan2
( Department of Physics, Mengzi T echers. College, Mengzi 661100 China; 2) Department of Physics, Yunnan Normal University, Kunming 650031 China)
后得
v=
dx dt
=
2mE-
k m
x2
=
2E m
(
1-
2kEx2)
dx = 1- 2kEx2
2E m
dt
,,(
1)
令: 2kEx= - CosU,,( 2)
1 应用机械能守恒定律
1. 1 弹簧振子: 对于 弹簧振 子是忽 略任何 阻力的 理想 情
况, 在整个运动过程中机械能守恒, 其势能曲线
如图. 图中 E= Ek+ Ep E 表示总机械能, Ek 表 示振动动能, Ep 表示弹性势能.
第 2期
蔡 群: 简谐振动运动方程的 推导
5
dU=
k m
dt
,,(
5)
设初始条件 t = 0, U= U0+ P, ( 5) 式求 定积
U
t
分 Q dU= Q
U0+ P
0
k m
dt,
U=
将 U值代入( 2) 式
k m
t+
U0+
P
x= -
2kECos(
k m
t+
U0+
P)
=
2kECos(
k m
t+
U0)
子的运动方程 x= ACos( Xt + U0)
2. 2 单摆
物体 m 受重力 mg 及拉力 T 作用在平衡位
置附近振动. 根据牛顿第二运动定律有:
-
mgSinH=
mL
d2H dt2
SinH用泰勒级数 展开, 因 H[ 5b, 忽略高 次
项 SinH= H代入上式
dd2tH2 = -
g L
H
令 X2=
( 9) ( 10) 两式代入( 7) 式后化简
dU=
g L
dt
,
,(
11)
设初始条件 to= 0, U= U0+ P, ( 11) 式求定积
分
U
t
Q dU= Q
U0+ P
0
g L
dt
U=
g L
t+
U0+
P,,(
12 )
( 12) 式代入( 8) 式
H= -
2E mgL
Cos(
g L
t+
U0+
P)
=
Ek=
1 2
mv2=
1 2
mL(
ddHt )
2
,
,(
2)
Ep= mgL ( 1- CosH) , ,( 3)
CosH用泰勒级数展开, H角很小, 可忽略高
次项,
CosH=
1-
H2 2
,,( 4)
( 4)
式代入( 3) 式
Ep=
mgL
H2 2
,,(
5)
( 2) ( 5) 两式代入( 1) 式
1 2
mL2(
摘 要: 本文从不同的物理角度, 导出了简谐振动的运动方程. 关 键 词: 简谐振动; 弹簧振子; 单摆; 微分方程 中图分类号: O32 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9128( 2001) 02- 0004- 03
关于简谐振动, 许多文献[ 1] ~ [ 6] 总是直接给 出简谐振动的运动方程, 如: 弹簧振子直接 给 出 x= ACos( Xt+ U0) ; 单摆直接给出 H= ACos( Xt + U0) 等. 本文根据简谐振动的物理意义应用机 械能守恒定律及牛顿第二运动定律, 分别 推出 以上两个运动方程式, 希望以此与同行共讨.
g L
有dd2tH2 + X2H= 0
同 2. 1 中解此微分方程可得单摆运动方程
H= ACos( Xt + U0)
3 结束语
本文从机械能守恒定律和牛顿第二运动定 律出发, 分别讨论了弹簧振子及单摆两种简谐 振动的运动方程, 两种方法各有千秋, 但均有普 适性, 所以其它简谐振动( 如: 复摆、扭摆) 的运 动方程也可用同样方法获得.
210. [ 4] 马文蔚. 柯 景凤. 物 理学[ M] . 下册. 北 京: 高等 教
育出版社, 1982. 1- 18. [ 5] 刘克哲. 普通物理学[ M] . 北京: 高等教育 出版社,
1994. 114- 124. [ 6] 祝 之 光. 物理 学 [ M ] . 下 册. 北 京: 高 等 教育 出 版
,,( 6)
令 A=
2E k
X=
k m
代入(
6)
式
可得到弹簧振子的运动方程:
x= ACos( Xt+ U0) 的形式.
1. 2 单摆: 对于单摆也是在忽略阻力的理想情况, 整
个实验过程机械能守恒. 其势能曲线与 1. 1 中
图相同. 同样 Ep+ Ek= E ,,( 1) 用 H表示摆角, L 表示摆长.