f分布t分布与卡方分布Last revision on 21 December 2020
§ 常用的分布及其分位数
1. 卡平方分布
卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i
i X 2
的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的
分布密度 p(z )=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>⎪
⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00
,2212122其他z e x n z
n n 式中的⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞
+--01
2
，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令
Y=X 21+X 22+…+X 2n
，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n
+ X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n
Y
X
的分布称为自由度等
于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=
)()(221
n n n ΓΓ+2121+-
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+n n z 。
请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这
时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=
m
Y
n
X 的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度
p(z)=⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫
⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m
m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度
的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z
1
～F (m ,n )。
4. t 分布与F 分布的关系 若X ～t(n )，则Y=X 2
～F(1,n )。
证：X ～t(n )，X 的分布密度p(x )=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Γ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π21
21+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+n n x 。
Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y<y }=P{X 2<y }。
当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0；
当y >0时，F Y (y ) =P{-y <X<y }
=x d x p y y
)(⎰-
=2x d x p y
)(0⎰，
Y=X 2
的分布密度p Y (y )=
2
1)(121221212n y n y n n n
n ++-⎪
⎭⎫
⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+Γ•，
与第一自由度等于1、第二自由度等于n 的F 分布的分布密度相同，因此Y=X 2
～F(1,n )。
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。
但是，解应用问题时，通常是查分位数表。
有关分位数的概念如下：
4. 常用分布的分位数
1）分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1
时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，
上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=α的数λ1、使
P{X>λ2}=1-F(λ2)=α的数λ2。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；
F(λ1)=α，1-F(λ2)=α，所以双侧α分位数λ1就是α分位数x α，双侧α分位数λ2就是α分位数xα。
2）标准正态分布的α分位数记作uα，α分位数记作uα，α分位数记作uα。
当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α，
P{X<uα}= F 0,1 (uα)=α，
P{X<uα}= F 0,1 (uα)=α。
根据标准正态分布密度曲线的对称性，
当α=时，uα=0；
当α<时，uα<0。
uα=-u1-α。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。
论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F 0,1 (uα)=α，
P{X< u1-α}= F 0,1 (u1-α)=1-α，
P{X> u1-α}=1- F 0,1 (u1-α)=α，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。
例如，u =-u =，
u =-u =，
u =-u =，
u =-u =，
u =-u =。
又因为P{|X|< uα}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u α和-uα。
标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=，u =；
α=，u =；
α=，u =；
α=，u =；
α=，u =。
χα(n)。
3）卡平方分布的α分位数记作2
χα(n)>0，当X～2χ(n)时，P{X<2χα(n)}=α。
2
χ(4)=，2χ(4)=，
例如，2
χ(4)=，2χ(4)=，
2
χ(4)=，2χ(4)=。
2
4）t分布的α分位数记作tα(n)。
当X～t(n)时，P{X<tα(n)}=α，且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有
tα(n)=-t1-α(n)，论述同uα=-u1-α。
例如，t (4)=，t (4)=， t (4)=，t (4)=，
t (4)=，t (4)=。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t α(n)，可用u α作为t α(n)的近似值。
5）F 分布的α分位数记作F α(n , m )。
F α(n , m )>0，当X ～F (n , m )时，P{X<F α(n , m )}=α。
另外，当α较小时，在表中查不出F α(n , m )，须先查 F 1-α(m , n )，再求F α(n , m )=
)
,(1
1n m F α-。
论述如下：
当X ～F(m , n )时，P{X< F 1-α(m , n )}=1-α，
P{X 1>),(11n m F α-}=1-α，P{X 1
<)
,(11n m F α-}=α， 又根据F 分布的定义，X 1～F(n , m )，P{X 1
<F α(n , m ) }=α，
因此 F α(n , m )= )
,(1
1n m F α-。
例如，F (3,4)=，F (3,4)=， F (3,4)=，F (4,3)=， F (4,3)=，F (4,3)=，
F (3,4)=7.281，F (3,4)=1.151，F (3,4)=12
.91。
【课内练习】
1. 求分位数①χ2(8)，②χ2(12)。
2. 求分位数① t (8)，② t (12)。
3. 求分位数①(7,5)，②(10,12)。
4. 由u =写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t (4)=写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X ～χ2(4)，P{X<}=，P{X<}=，试写出有关的分位数。
7. 若X ～F(5,3)，P{X<}=，Y ～F(3,5)，{Y<}= ，试写出有关的分位数。
8. 设X 1、X 2、…、X 10相互独立且都服从N(0,分布,
试求P{X i i
2 >}。
习题答案：1. ①，②。
2. ①，②。
3. ①1488.，②。
4. 为上侧分位数，与为双侧分位数。
5. 为上侧分位数，与为双侧分位数。
6. 为上侧分位数，为上侧分位数，与为双侧分位数。
7. 9.01为上侧分位数，为上侧分位数，1901.与为双侧分位数，1541
.与为双侧分位数。
8. 。