高斯公式作用： 高斯公式作用：封闭曲面积分转换为体积分
∆ψ div A = lim ∆v − >0 ∆ v ∆ψ = ∫ A • dσ =
d S = ds cos( n , x ) i + cos( n , y ) j + ds cos( n , z ) k d S = dydzi + dzdxj + dydxk
2）通量定义、表达式、 证明过程 ）通量定义、表达式、
矢量A沿任一有向曲面S的面积分,叫做矢量场穿过曲面 叫做矢量场穿过曲面S的 矢量 沿任一有向曲面 的面积分 叫做矢量场穿过曲面 的通量 沿任一有向曲面
3.怎么学习 信息物理基础？ 怎么学习 信息物理基础？
第1章 数学基础 章
§1.1 矢量代数和矢量函数
1.矢量 1.矢量 需用量值表示其大小，又需要指明方向的量，叫矢量，例如力、速 度、加速度、动量、角动量等都是矢量。 需用数值和单位(合称量值)表示其大小的量，叫标量，如长度、时 间、质量、温度、能量等都是标量 用带箭头的字母 A (例如、等)或黑斜体字母(如A、D等)表示矢量。 矢量的大小又称矢量的模，并用 A ，表示。
动态场 动态场或时变场 动态场
F f
的物理状态与时间无关
矢量和矢量场的不变特性
F 2 = Fx + Fy + Fz = Fr + Fϕ + Fz = Fr + Fθ + Fϕ
2 2 2 2 2 2 2 2
2
矢量函数对时间和空间坐标变量的微分，仍然是个矢量
矢量线 为了形象地描述矢量场在空间的分布状态，引入矢量线概念。 矢量线上的每一点的切线方向都代表该点的矢量场方向。矢量 场中的每一点均有唯一的一条矢量线通过。所以矢量线充满了 整个矢量所在空间。 电力线、磁力线就是电场和磁场中的矢量线 任一点的切向长度元 A 与该点矢量场 dl 的方向平行
4）散度定义(divA)（标量） 、表达式、证明过程 ）散度定义 （标量） 表达式、 定义：设有矢量场 于场中任一点 于场中任一点m的某个邻域内作一包含 定义：设有矢量场A,于场中任一点 的某个邻域内作一包含 在内的任一闭曲面 设其包围的空间区域为 点m在内的任一闭曲面△s,设其包围的空间区域为△ ,以△v表 在内的任一 以 示其体积， 表示从其內部穿出S的通量 的通量,若当 示其体积， 以△Ψ表示从其內部穿出 的通量 若当△ 以任意 方式缩向 点时,比式 缩向m点时 的极限存在, 方式缩向 点时 比式 的极限存在,则称此极限为矢量场 点处的散度 记为: 散度, 在m点处的散度,记为:
C为常量
grad ( u ± v ) = grad v ± grad u grad ( uv ) = u × grad v + v × grad u
u v × grad u − u × grad v grad ( ) = v v2
grad f ( u ) = f ′ ( u ) grad u
3 矢量场的通量和散度 1）面积矢量定义 ）面积矢量定义 定义：面积矢量是大小等于该面元的面积， 定义：面积矢量是大小等于该面元的面积，方向和该面元的外法 线方向一致。 线方向一致。
F ( x, y , z , t )
F ( x, y, z ) = ax Fx ( x, y, z ) + a y Fy ( x, y, z ) + az Fz ( x, y, z )
一个矢量函数对应三个标量函数
Fx ( x, y, x)
F y ( x, y , x )
Fz ( x, y, x)
静态场 静态场
2.矢量加减运算 2.矢量加减运算
A ∓ B＝C
加法服从交换律
A＋B＝B＋A
服从结合律
A＋B＋C＝(A＋B)＋C＝A＋(B＋C )
常矢 和 变矢
大小和方向都保持不变的矢量称
3 单位矢量和分矢量 大小为 的矢量 单位矢量和分矢量:大小为 大小为1的矢量
A＝ | A | A
A
0
0
单位矢量表示为。
任一矢量可以分解为几个矢量，它们的和就是这个矢量。特别是可 以分解为沿坐标轴的互相垂直的分量
信息物理基础
1.信息物理基础是什么？ 信息物理基础是什么？ 信息物理基础是什么 1）信息及信息技术 ） 信息：物质或能量在空间和时间上的分布。 信息：物质或能量在空间和时间上的分布。光、电、声、磁、 气压、温度、 气压、温度、气味等等 信息技术主要包括： 信息技术主要包括： 信息产生、信息传输、 信息产生、信息传输、信息采集 、信息处理 信息产生： 信息产生：载体产生和信息调制 信息采集： 信息采集：传感器 类似人的感观系统（眼、鼻子、耳朵、）系统，负责获 类似人的感观系统（ 鼻子、耳朵、）系统， 、）系统 得原始信息， 得原始信息，主要由各类传感器完成
ˆ d S = n ds
面积矢量直角坐标系下的表达式： 面积矢量直角坐标系下的表达式：
dS = idsx + jdsy + kdsz
dsx = dydz
dsy = dzdx
dsz = dydx
面积矢量直角坐标系下的表达式证明过程： 面积矢量直角坐标系下的表达式证明过程：
d S = n 0 ds d S = [cos( n , x ) i + cos( n , y ) j + cos( n , z ) k ]ds
ψ
=
∫
S
A • d σ
ψ = 矢量A在闭合曲面S的 矢量 在闭合曲面 的通量 通量在直角坐标系中表示法： 通量在直角坐标系中表示法：
ψ =
∫
S
A • dσ
+ Rdydx
∫∫
S
Pdydz
+ Qdxdz
通量在直角坐标系中表示法的证明过程： 通量在直角坐标系中表示法的证明过程：
A = iP( x, y, z ) + jQ( x, y, z ) + kR( x, y, z ) d S = idydz + jdzdx + kdydx
i A × B＝ A x Bx
j Ay By
k Az Bz
6 有三种形式
三矢量相乘
A(B • C )
A• B×C
所谓三重标量积
它表示要先求矢量积，然后求标量积，其结果为一个标量，即为平 行六面体的体积
A • B × C ＝ B • C × A＝ C • A × B
A × (B × C )
A × (B × C ) B (A • C )－C(A • B ) ＝
场分类 (1)标量场 标量场 (1)稳定场 稳定场
(2)矢量场 矢量场 (2)不稳定场 不稳定场
标量函数与矢量函数 只有确定数值的标量可以是空间坐标（如直角坐标系中的x、y、z） 和时间t的函数，我们称为标量函数。 f ( x, y , z , t ) 有确定方向的物理量的矢量，一般都是一个或几个（标量）变量的 函数，称为矢量函数
标量场梯度gradU（矢量） （矢量） 标量场梯度 定义:若在标量场 中一点M处，存在一个矢量 G ,且 G 满足如下 定义 若在标量场u中一点 处 且 若在标量场 中一点 两个条件： 两个条件： 方向:为 在 点变化率最大方向 点变化率最大方向； 方向 为u在M点变化率最大方向； 点最大变化率的数值, 模:为u在M点最大变化率的数值 为 在 点最大变化率的数值 为标量场u在 点处的梯度 点处的梯度. 则称 G 为标量场 在M点处的梯度
grad u = G
梯度在直角坐标系中表达式
grad u = ∂u ∂u ∂u i + j + k ∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂ + j +k 引进矢量微分算子 ∇ = i ∂z ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u 则梯度为： 则梯度为： ∇ u = i + j +k ∂x ∂y ∂z
梯度运算基本公式
grad c = 0 grad cu = c grad u
ψ =
∫∫ A • d S = ∫∫ Pdydz
S S
+ Qdxdz
+ Rdydx
3）封闭曲面通量的物理意义 ）
ψ =
∫
S
A • dσ
ψ > 0 ψ < 0 ψ = 0
封闭曲面内有源 封闭曲面内有负源 封闭曲面内无源
封闭曲面通量的缺点：是一个整体的描述，不能描 封闭曲面通量的缺点：是一个整体的描述， 述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？ 述内部源的分布情况，如何描述内部的分布？
梯度、 §1.2 场、梯度、散度和旋度
1. 场的摡念 如果在全部空间或部分空间里的每一个点,都对应着某个物 如果在全部空间或部分空间里的每一个点 都对应着某个物 理量的一个确定的值 确定的值,就说在这个空间里确定了该物理量的 理量的一个确定的值 就说在这个空间里确定了该物理量的 一个场。 一个场。 温度场 电势场 电场 磁场
A • B＝B • A
(A＋B ) • C＝A • C＋B • C
A×B
它的大小等于
| A || B | sin θ
5 两矢量的矢量积
其方向垂直于两矢量所决定的平面，并且满足右手螺旋定则 不服从交换律，但满足结合律
(A＋B )× C＝A × C＋B × C
直角坐标系方法表示，则有
A × B＝－B × A
2.标量场的方向导数和梯度 标量场的方向导数和梯度 标量场方向导数 标量场中，分布于各点的物理量是其空间坐标的单值函 标量场中， 数，即：
φ
= φ ( x , y , z )
定义:设 m0为标量场 中的一点 从点m0 出发引一条射线 在点 中的一点,从点 出发引一条射线L,在点 定义 设 为标量场u中的一点 m0 的邻近取一点 m ,记 mm0 = ρ 若当 m → m0 时, ∆u 记 ρ 的极限存在,则称此极限为函数在 的极限存在 则称此极限为函数在m0 处沿方向L的方向导数