O ωRr ABθ习题9－2图习题20-3图OxF Oy F gm Ddα习题20-3解图第9章 动量矩定理及其应用9-１ 计算下列情形下系统的动量矩。

1. 圆盘以ω的角速度绕Ｏ轴转动,质量为m 的小球Ｍ可沿圆盘的径向凹槽运动,图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处(图a ）;求小球对Ｏ点的动量矩。

2． 图示质量为ｍ的偏心轮在水平面上作平面运动。

轮心为A ，质心为C ，且ＡＣ = e ;轮子半径为R ,对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图b ）。

(1）当轮子只滚不滑时,若v A 已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时,若v A 、ω已知,求轮子的动量和对B 点的动量矩。

解:１、2s m L O ω=（逆)2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ω(逆)Rv me J R e R mv J e R mv L A A AC C B )()()(22-++=++=ω (2))(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－２ 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动,其大、小半径分别为R 、r ，对Ｏ轴的转动惯量为ＪＯ;物块A 、B 的质量分别为m A 和ｍB ；试求系统对O 轴的动量矩。

解:ω)(22r m R m J L B A O O ++=9-3 图示匀质细杆ＯA 和ＥＣ的质量分别为50kg 和10０ｋｇ，并在点Ａ焊成一体。

若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时,杆的角加速度及铰链O 处的约束力。

不计铰链摩擦。

解：令m ＝ m OA = 50 k ｇ,则m ＥC = 2m 质心D 位置:（设ｌ = １ m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动,初瞬时ω=0 l mg l mg J O ⋅+⋅=22α 222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+= 即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l αgl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理:Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy Ｎ（↑) 0=ω,0n=D a ， 0=Ox F(a)OMvωωA BC Rv A(b)习题9－1图（b ）习题9－5解图J习题9－5图9-4 卷扬机机构如图所示。

可绕固定轴转动的轮B 、C ，其半径分别为R 和r ，对自身转轴的转动惯量分别为J 1和J 2。

被提升重物A 的质量为m ,作用于轮C 的主动转矩为Ｍ，求重物A 的加速度。

解：对轮Ｃ:r F M J C T 2-=α对轮B 和重物Ａ：mgR R F mR J -'=+T 21)(α运动学关系:ααR r a C ==2222212)(rmR R J r J rR mgr M a ++-=9－5 图示电动绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用一矩为M 动力偶。

已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为Ｊ1和J 2；传动比r ２ : r 1 ＝ i ；吊索缠绕在鼓轮上,此轮半径为R 。

设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。

解:对轮1(图ａ)：111Fr M J -=α对轮2（图ｂ):mgR r F mR J -'=+2222)(α 2211ααr r =;21ααi =21222iJ mR J mgRMi ++-=α 重物的加速度:21222)(i J mR J RmgR Mi R a ++-==α９-6 均质细杆长2l ,质量为m ,放在两个支承A 和Ｂ上,如图所示。

杆的质心C 到两支承的距离相等,即AC ＝ ＣB = e 。

现在突然移去支承B ,求在刚移去支承Ｂ瞬时支承A 上压力的改变量ΔＦＡ。

解：mge J A =α，mge me ml =+α)31(22A C F mg ma -=22233e l ge e a C +==α 22233e l mge mg F A +-= mge l l e mg e l mge F mg F A A )3(2323322222222+-=-+=-=∆习题9－6图习题9－4图习题9－6解图α习题9－7图习题9－8图dB ACgm lF(b) 习题9－7解图Agm CθBθrd +9-7 为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销A 处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平轴线摆动，如图a 、ｂ所示。

摆动100次所用的时间为１00s 。

另外,如图c 所示,为了求得连杆重心到悬挂轴的距离ＡC = ｄ，将连杆水平放置，在点A 处用杆悬挂,点B 放置于台秤上，台秤的读数F = 490Ｎ。

已知连杆质量为8０kg,A 与B 间的距离l =1m ，十字头销的半径ｒ = ４0mm 。

试求连杆对于通过质心C 并垂直于图面的轴的转动惯量J C 。

解:图(a ），1<<θ时,θθ)(r d mg J A +-= 0)(=++θθr d mg J A 0)(=++θθAJ r d mg AJ r d mg )(n +=ω )(π2π2n r d mg J T A+==ωﻩ(1） 2)(r d m J J C A ++= (2）由图（b):0=∑A M ，625.085===mg Fl d ｍ代入(1)、（2),注意到周期s 2=T ，得22222m kg 45.17)665.0π8.9(665.080)](π)[()(π)(⋅=-⨯⨯=+-+=+-+=r d g r d m r d m r d mg J C9－８ 图示圆柱体A 的质量为m ,在其中部绕以细绳,绳的一端Ｂ固定。

圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。

求当圆柱体的轴降落了高度ｈ时圆柱体中心A 的速度υ和绳子的拉力F T 。

解:法1:图（a ） T F mg ma A -= （1） r F αJ A T = （2）r αa A =ﻩ(3) 221mr J A = 解得mg F 31T =(拉） g a A 32=(常量）（4）习题9－10图ORr F θ习题9－9图AαA v Aa rCTF gm(a)由运动学 gh h a v A A 3322==（↓） 法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变,故可对瞬心Ｃ用动量矩定理：mgr J C =ϕﻩ（５） 2223mr mr J J A C =+=又 r a A =ϕg a A 32=（同式（4））再由 T F mg ma A -= 得 mg F 31T=(拉) gh h a v A A 3322==（↓)9-９ 鼓轮如图,其外、内半径分别为R 和r ,质量为m ，对质心轴O 的回转半径为ρ，且ρ２＝ R ·r ，鼓轮在拉力F 的作用下沿倾角为θ的斜面往上纯滚动，Ｆ力与斜面平行，不计滚动摩阻。

试求质心O 的加速度。

解：鼓轮作平面运动，轴Ｏ沿斜面作直线运动：θsin f mg F F ma O --=ﻩ(1） R F Fr m f 2+=αρ（２)纯滚：αR a O =ﻩ(3)代入(2)R F Fr Ra m O f 2+=⋅ρﻩ(4） 解（1)、(4)联立,消去F ｆ,得)(sin )(222ρθ+-+=R m mgR r R FR a O9-１0 图示重物Ａ的质量为m ,当其下降时,借无重且不可伸长的绳使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。

绳子跨过不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。

滑轮B 与滚子C 固结为一体。

已知滑轮Ｂ的半径为Ｒ，滚子Ｃ的半径为r ，二者总质量为m ′，其对与图面垂直的轴O 的回转半径为ρ。

求:重物A 的加速度。

O Rr FθF f F N m g习题9－11图DABC习题9－12图rαD NF Fagm MM f(a)解：法1:对轮:Fr TR J O -=αﻩ(1） T F a m O -='ﻩ（2）对A :T mg ma A -=ﻩ(３)又:tH H A a a a ==绳以O 为基点:tn n t HO HO O H H a a a a a ++=+ααα)(tt r R r R a a a O HO H -=-=-=（→）α)(r R a A -=(↓)(4）由上四式联立，得(注意到2ρm J O '=）1)()()()()(2222222+-+⋅'=-++'-=r R r m m gr R m r m r R mg a A ρρ法2:对瞬心E 用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）)(r R T J E -=α T mg ma A -= 又α)(r R a A -=)(222r m r m J J O E +'='+=ρ 可解得：1)()(222+-+⋅'=r R r m m ga A ρ9-11 图示匀质圆柱体质量为m ,半径为r ,在力偶作用下沿水平面作纯滚动。

若力偶的力偶矩M 为常数,滚动阻碍系数为δ，求圆柱中心Ｏ的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。

解:f M M J D -=α (1)N f F M δ= mg F =N223mr J D =ra =α代入(1),得mrmg M a 3)(2δ-=又：F ma =rmg M F 3)(2δ-=9－１2 跨过定滑轮D 的细绳,一端缠绕在均质圆柱体A 上，另一端系在光滑水平面上的物体B 上，如图所示。

已知圆柱Ａ的半径为r ,质量为m 1;物块Ｂ的质量为m 2。

试求物块Ｂ和圆柱质心Ｃ的加速度以及绳索的拉力。

滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。

解:对轮C ： r F J C T =αT 11F g m a m C -=对物块Ｂ：T 2F a m B = 且：αr a a B C +=；2121r m J C =解得:g m m m a B2113+= ；gm m m m a C 212132++= g m m m m F 2121T 3+=HOOHO an H anHO atH a (b)m F 绳H a HT 'g m OT(a)a AF·Em ′gNF αagm 1F O(a)xθAF ..Cy ..Cx αA C BBF gm O(b)AαCθPgm BBAF(a)９－13 图示匀质圆轮的质量为ｍ，半径为r ，静止地放置在水平胶带上。

若在胶带上作用拉力F ,并使胶带与轮子间产生相对滑动。

设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f 。