一：假设某保单的损失服从指数分布，概率密度函数为)0();(>=-x e x f x λλ其中，λ为未知参数，如果该保单过去各年的损失观测值为),(21n x x x ，求参数λ的极大似然估解：利用极大似然估计的方法，可以得到xxnni i1ˆ1==∑=λ二：假设某保险业务的累积损失S 服从复合泊松分布，泊松参数为20，而每次损失的金额服从均值为100的指数分布，用正态近似求累积损失的99%的分位数。

解：[]400000)100100(20)()()()()(200010020)()(222=+=+==⨯==X E N VAR N E X VAR S VAR X E S E λ分位数=3471)(326.2)(=⨯+S VAR S E加二、某保单规定的免赔额为20，该保单的损失服从参数为0.2的指数分布，求该保险人对该保险保单的期望赔款。

解： 令⎩⎨⎧≥-≤=2020200X X X Y ，，为保险人的赔款随机变量4202.052.0)20()2020()(-∞-=-=>-=⎰e dx e x X X E Y E x三、假设某公司承保的所有汽车每年发生交通事故的次数都服从泊松分布，而不同汽车的泊松分布参数不同，假设只取两个值（1或2），进一步假设λ的先验分布为4.0)2(,6.0)1(====λλp p ，如果汽车一年内发生4次事故，求该汽车索赔频率λ的后验分布。

解：λλλ-==e x P !4)4(41241)14(-===e x P λ 22416)24(-===e x P λ 2031.04.024166.0246.024)41(211=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ7969.04.024166.0246.02416)42(212=⨯+⨯⨯===---e e e x P λ=)(λE 1)41(⨯==x P λ+2)42(⨯==x P λ=1.7969四：假设某险种的损失次数服从参数为0.2的泊松分布，对于一次保险事故，损失为5000元的概率是80%，损失为10000元的概率是20%，请计算保险公司的累积损失的分布 解：为简化计算，假设一个货币单位为5000元，解：818731.0)0(2.0===--e e f s λ ，130997.08.02.0)0()1()1(2.0=⨯⨯==-e f f f S X s λ043229.0))0()2(2)1()1((2)2(=+=S X S X s f f f f f λ五：假设某保险人签发了两份保单六：假设保险业务在一年内是均匀分布，保险期限为1年，各日历年的已赚保费如下，2000解：如果把1998年生效的相对费率看做是1，则1999年生效的相对费率为1.08,2001年生效的相对费率为1772.19.01*8.01=，2000年的相对费率为7.01.5%87*8.01.5%12*1=+，2001年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*12.5%=1.09215,2002年的相对费率为1.08*12.5%+1.1772*87.5%=1.16505，将所有年费的已赚保费调整到2002年的水平，可得等水平已赚保费为3100*1.1772/1.07+3200*1.1772/1.09215+3500*1.1772/1.16505=10396.28 八：某险种当年的相对费率和保费收入、过去三年的等水平已赚保费和经验损失数据如下表所示，假设A 为基础类别，经验数据的可信度为40%，如果整体保费需要上调15%，请计算调整后的相对费率。

解：有实际赔付经验可知1500m (k 因此完全可信性所需的索赔次数不能小于445).401(3842=+=F n又由于每份保单的索赔频率为0.03，所以发生445次索赔所需要的保单数为445/0.03=14848 十、假设某险种的保险期限为1年，新费率的生效日期是2005年7月1日，目标赔付率为60%，如果每年按5%的速度增长，请根据下表计算费率的调整幅度。

解：20032005年7月1日签发的保单，其赔款平均在2006年7月1日支出。

因此把2003年的保单年度的最终赔款调整到2006年7月1日得水平即为3.711295.011000.52=⨯，同样把2004年保单年度的最终赔款调整到2006年7月1日的.51费率上调幅度=0.6716/0.6=12%十一：已知两个风险A 和B 的损失金额服从下述分布，，其中风险A 发生损失的概率是风险B 的两倍，如果已知某个风险在某次事故的损失额为300元，求该风险下次损失额的BL 解：7.12726))2((31)1()32()(==Θ+=Θ⨯=x E x E x E 56.10795755)7.127268080(31)7.1272615050(3222=-+-=a756242500)1505070000(2.0)150503000(3.0)15050300(5.0)1(222=-+-+-⨯==ΘX VAR 427467600)808070000(1.0)80803000(3.0)8080300(6.0)2(222=-+-+-⨯==ΘX VAR 7.6466508664274676003175624250032=⨯+⨯=ν 899.59==a k ν 01642.0=+=kn n z 信度估计值为65.12522)1(=-+μz X z十二、已知有四个风险等级的被保险人，每人可能发生的损失为2或者4，其分布如下表所示，随机选定某一风险等级，并且从中选取四个被保险人，总的损失为4，如果从同一风险等级中再抽取一个被保险人，请用bl-s 信度模型估计这5个被保险人的总损失。

2675.085.2)6.336.22.2(41.705.8222222=-+++===a ，，νμ6011.02675.071.044=+=+=kn nz 738.1)1(ˆ=-+=μz X z x69.8ˆ5=x十三、假设不同被保险人的索赔频率相互独立，每个被保险人在每月的索赔次数服从泊松分布，不同被保险人的泊松参数互不相同，泊松参数服从伽马分布，其密度函数为λλλλ120)100()(1006-=e f ，假设保险人在过去4个月份的经验数据如下表所示，请应用bl-s模型估计保险人在下个月的索赔次数。

十四十六：已知 100个人投保，这些投保的个体有相互独立的索赔，索赔的均值和方差按照性设S 为总的索赔量，总的保险费按照)(2)(S D S E +收取，这100个成员中，男女性别个数未知，设男性有N 个人，N 服从二项分布，)4.0,100(b 。

求总保费为多少？解：设X 表示男性索赔，Y 表示女性索赔，N 表示男性个数，)4.0,100(~b N ，则总索赔为男、女之和，即1002121Y Y Y X X X S N N N +++++++=++ 4)(2)(==X D X E ， 10)(4)(==Y D Y E ，则))(()(N S E E S E =))()100()((Y E N X NE E -+= )(2400N E -==320D(S)=))(())((N S E D N S D E +))()100()(())()100()((Y E N X NE D Y D N X ND E -++--= 85696760=+=所以总保费为)(2)(S D S E +=378.5十七、设2=λ，4,3,2,1,1.0)(==x x x p ，计算总索赔S 的分布4,3,2,1,0),(==x x S f 的概率。

一：一般解法： )()()()(0n N P n N x S P x S P x f n ======∑∞=)()(0*n N P x Pn n==∑∞=方法二：44332211其中，i N 服从参数为i p λ的泊松分布，4,3,2,1,1.0)(==x x x p十八：由解：设损失变量为∑==1000001i iXL ，则理赔变量为==L S 8.0∑=10000018.0i iX，又设安全附加费为θ，则保费总额为)()1(S E G θ+=则根据题意1000005439120)(100000*1060)(⨯==S D S E有))()(()()()()(S D S E S D S E S D S E S P θφθ≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤- 所以安全附加保费为1.645*100000*5439120=1213193.9将收取纯保费的)1(θ+倍为保费，求相对附加保费θ使得05.0))()1((=+≥S E S P θ成立。

解：设i X 代表第i 类得个体索赔变量，i I 为0-1变量，{}1=i I 表示第i 类索赔发生，{}0=i I 表示第i 类索赔不发生，i B 代表在索赔发生的条件下，索赔的大小。

则根据个体索赔量得定义，i i i B I X =，且i i q I P ==)1(，i q 为索赔概率。

则i i i i i i i i i q q q X D q X E 22)1()(,)(σμμ+-==其中)1(),1(2====i i i i i i I B D I B E σμ，且根据已知2i i σμ=成立 所以150075.05001.0100025.0500)(31=⨯+⨯+⨯==∑=i iiiqn S E μ∑==31)(i i n S D ))1((22i i i i i q q q σμ+-=12687.5查表的到：645.1)()(=S D S E θ所以1235.0=θ二十：某保险公司规定赔款最高限额是3000元时，超过部分由投保人自己支付，随机变量X 即一笔赔款的分布函数是)(x F ，而)(x F 遵从于01)(001.0≥-=-X e x F x试计算对一笔赔款应由保险人支付平均额度。

解：赔款额的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧≥==-0)0(,001.0)()(001.0x e x F dx dx f x因此根据赔偿限额的规定，我们得到二十一：假设汽车保险的损失分布是参数)100,3(==θα的帕累托分布：0,)100100(1)(3≥+-=x x x F 求免赔额为20时的赔偿期望值为多少？解：50131001)(=-=-=αθX E 8.215))120100(1(13100)20(13=--=∧-X E213.40)120100(1)20(3=-=F则赔款的期望值为60)20(1)20()()(=-∧-=X F X E X E Y E二十二：假设某汽车保险的损失分布是参数)100,3(==θα的帕累托分布：0,)100100(1)(3≥+-=x x x F 求免赔额为200时的赔偿期望值为多少？ 解：50131001)(=-=-=αθX E 4.444))300100(1(13100)200(13=--=∧-X E解：将各进展年的因子相邻相除，得到相邻进展因子。