m： C 点竖直上抛，根据动能定理：
12 mgh 0 mv2
2 ∴ h=2.5 R ∴ H=h +R=3.5 R
(2) 物块从 H 返回 A 点，根据动能定理：
mgH -μ mg=s0-0 ∴ s=14 R
小物块最终停在 B 右侧 14R 处
13 也可以整体求解，解法如下：
m： B→ C，根据动能定理： F 2R f 2R mgH 0 0
解： (1) m 由 A 到 B：根据动能定理： mgh 1 mv2 2
1 mv02 2
v 20m/s
m v0
(2) m 由 A 到 B，根据动能定理 3：
1 21 2
mgh W mvt mv0
2
2
W 1.95J
3a、运动员踢球的平均作用力为 200N，把一个静止的质量为
在水平面上运动 60m 后停下 . 求运动员对球做的功？
4、在距离地面高为 H 处，将质量为 m 的小钢球以初速度 v0竖直下抛，落地后，小钢球陷入泥 土中的深度为 h 求：
(1) 求钢球落地时的速度大小 v.
(2) 泥土对小钢球的阻力是恒力还是变力 ?
(3) 求泥土阻力对小钢球所做的功 . (4) 求泥土对小钢球的平均阻力大小 .
解： (1) m 由 A 到 B：根据动能定理：
WF f l cos180o 1 mvm2 0 2
l 800m
11． AB 是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端 B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自
A 点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为
R，小球的质量为 m ，不计各处摩擦。求
(1) 小球运动到 B点时的动能；
(2) 小球经过圆弧轨道的 B 点和水平轨道的 C点时，所受轨道支持力 N B、 N C各是多大 ?
(3) m 由 A 到 B： W WG WF
WF 12J
2m/s ，求： v
Bm
h N
A mg
2、一个人站在距地面高 h = 15m 处，将一个质量为 m = 100g 的石块以 v0 = 10m/s 的速度斜向 上抛出 . (1) 若不计空气阻力，求石块落地时的速度 v.
(2) 若石块落地时速度的大小为 vt = 19m/s ，求石块克服空气阻力做的功 W.
(2) 如果水平轨道 AB 足够长，试确定小物块最终停在何处？
解：
(1) 13 m： P→ B ，根据动能定理：
12 F f 2R mv1 0
2
其中： F =2 mg ， f= μ mg
∴
v
2 1
=7
Rg
C
O
R
B
P A
m： B→ C，根据动能定理：
mgR 1 mv22 2
∴
v
2 2
=5
Rg
1 mv12 2
冰车受到的摩擦力是它对冰面压力的
0. 01 倍 ,当冰车前进了 s1=30m 后 ,撤去推力 F ，冰车又前
进了一段距离后停止 . 取 g = 10m/s2. 求：
(1) 撤去推力 F 时的速度大小 . 程 s.
(2) 冰车运动的总路
解： (1) m 由 1 状态到 2 状态：根据动能定理 7：
Fs1 cos0o
h 多大；
(2) 要求物块能通过圆轨道最高点， 且在最高点与轨道间的压力不能超过 5mg。求物块初始位
置相对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围。
Am
解：
(1) m： A→ B→ C 过程：根据动能定理：
C
mg(h 2R) 1 mv2 0
①
2
h
R
物块能通过最高点，轨道压力 N=0
B
∵ 牛顿第二定律
v2
B、C
分别是两个圆形轨道的最低点，半径
R1=2.0m 、 R2=1.4m 。一个质量为 m =1.0kg 的质点小球，
从轨道的左侧 A 点以 v0=12.0m/s 的初速度沿轨道向右运动， A、 B 间距 L 1=6.0m 。小球与水平
轨道间的动摩擦因数 μ=0.2。两个圆形轨道是光滑的， 重力加速度 g=10m/s2。（计算结果小数点
Wf mgR 8J
A
RO
mg N
x
f
B mg
C
(2) m 由 B 到 C： Wf mg x cos180o
0.2
7、粗糙的 1/4 圆弧的半径为 0.45m ，有一质量为 0.2kg 的物体自最高点 A 从静止开始下滑到圆 弧最低点 B 时，然后沿水平面前进 0.4m 到达 C 点停止 . 设物体与轨道间的动摩擦因数为 0.5 ( g
mg m
②
R
∴ h=2.5R
(2) 若在 C 点对轨道压力达最大值，则
m： A’→ B→ C 过程：根据动能定理：
mghmax 2mgR mv 2
③
物块在最高点 C，轨道压力 N=5mg， ∵ 牛顿第二定律
v2
mg N m
④
R
∴ h=5R
∴ h 的取值范围是： 2.5R h 5R
15．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的两个圆形轨道组成，
1、 一质量为 1kg 的物体被人用手由静止向上提高 (1) 物体克服重力做功 . (2)合外力对物体做功 .
1m ，这时物体的速度是 (3)手对物体做功 .
解： (1) m 由 A 到 B： WG mgh 10J
克服重力做功 1 W克G WG 10J
(2) m 由 A 到 B，根据动能定理 2：
W 1 mv2 0 2J 2
又 Q l cos s1 、 s s1 s2
则 11： h s 0
即：
h
s
s1 ，在水平面上运动的位移
N1
f1
A
C
N2
l mg
h
B f2
s2
mg s1
9 也可以分段计算，计算过程略 .
s
10 题目里没有提到或给出，而在计算过程中需要用到的物理量，应在解题之前给出解释。
11 具体计算过程如下：由 l cos s1，得：
= 10m/s 2)，求：
(1) 物体到达 B 点时的速度大小 .
(2) 物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功 .
f
解： (1) m 由 B 到 C：根据动能定理：
o
1 2A
mg l cos180 0 mvB
2
RO mg N
l
vB 2m/s
f
(2) m 由 A 到 B：根据动能定理： mgR Wf 1 mvB2 0
3 此处写 W 的原因是题目已明确说明 W 是克服空气阻力所做的功 .
4 踢球过程很短，位移也很小，运动员踢球的力又远大于各种阻力，因此忽略阻力功
.
5 结果为 0，并不是说小球整个过程中动能保持不变，而是动能先转化为了其他形式的能（主要是弹性势能，
然后其他形式的能又转化为动能，而前后动能相等 .
-1-
s
s Wf 1 mv02 mgh
2
12 克服摩擦力做功 W克f Wf mgh mv0
2
10、汽车质量为 m = 2 × 103kg，沿平直的路面以恒定功率 20kW 由静止出发，经过 60s，汽车
达到最大速度 20m/s. 设汽车受到的阻力恒定 . 求：
(1) 阻力的大小 .
(2) 这一过程牵引力所做的功 .Βιβλιοθήκη 0，当小球在泥土中减速时，
泥土对小球的力必大于重力 mg，而当小球在泥土中静止时， 泥土对小球的力又恰等于重力 mg. 因此可以推知，
泥土对小球的力为变力 .
8 也可以用第二段来算 s2 ，然后将两段位移加起来
m 由 2 状态到 3 状态：根据动能定理：
mgs2 cos180o
0
12 mv
2
s2 70m
mgh mg s1 cos180o mgs2 cos180o 0 0
mgh mg s1 s2 0
由 s s1 s2 ，得： mgh mgs 0
-3-
证毕 .
9、质量为 m 的物体从高为 h 的斜面顶端自静止开始滑下，最后停在平面上的
B 点 . 若该物体
从斜面的顶端以初速度 克服摩擦力做的功 .
v0 沿斜面滑下， 则停在平面上的 C 点 . 已知 AB = BC ，求物体在斜面上 f1 O N1
W mv mv 0
2
2
v0 0 v0 m
OA
OA N
F mg
v0
B AB
N
f mg
1 不能写成： WG mgh 10J . 在没有特别说明的情况下， WG 默认解释为重力所做的功，而在这个过程中重
力所做的功为负 .
2 也可以简写成： “ m： A B ： Q W Ek ”，其中 W Ek 表示动能定理 .
(3) 小球下滑到距水平轨道的高度为
1 R 时速度的大小和方向； 2
m
A
O
解： (1) m：A→ B 过程： ∵动能定理 mgR
12 mvB
0
2
m
R
O
B
C
即： h s 0
D
R
RA/2
12 由于种种原因，此题给出的数据并不合适，但并不妨碍使用动能定理对其进行求v解D B .
C
-4-
EKB
1 2
mvB2
v0
解：设斜面长为 l ， AB 和 BC 之间的距离均为 s，物体在斜面上摩擦力做功为 Wf .
m 由 O 到 B：根据动能定理： mgh Wf f2 s cos180o 0 0
mg l h
N2
f2
A
B
C
m 由 O 到 C：根据动能定理： mgh Wf