第九章 静电场中的导体9.1 选无穷远处为电势零点，半径为R 的导体球带电后，其电势为U 0，则球外离球心距离为r 处的电场强度的大小为(A) 32rU R ． (B) R U 0． (C) 20rRU ． (D) r U 0． ［ C ］ 9.2如图所示，一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ ，则板的两侧离板面距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为：(A) 0． (B)2εσ． (C) 0εσh ． (D) 02εσh． ［ A ］9.3 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ．在腔内离球心的距离为d 处( d < R )，固定一点电荷+q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 (A) 0 ． (B)dq04επ．(C)R q 04επ-． (D) )11(4Rd q -πε． ［ D ］9.4 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布．如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： (A) 球壳内、外场强分布均无变化． (B) 球壳内场强分布改变，球壳外不变． (C) 球壳外场强分布改变，球壳内不变．(D) 球壳内、外场强分布均改变． ［ B ］9.5在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是：(A) 内表面均匀，外表面也均匀． (B) 内表面不均匀，外表面均匀． (C) 内表面均匀，外表面不均匀．(D) 内表面不均匀，外表面也不均匀． ［ B ］9.6当一个带电导体达到静电平衡时： (A) 表面上电荷密度较大处电势较高． (B) 表面曲率较大处电势较高． (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高．(D) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零． ［ D ］9.7如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势．解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ．(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的 距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为adqU q 04επ=⎰-aq04επ-=(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和q Q q q O U U U U +-++=r q 04επ=a q 04επ-b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εbQ04επ+9.8有一"无限大"的接地导体板 ，在距离板面b 处有一电荷为q 的点电荷．如图所示，试求： (1) 导体板面上各点的感生电荷面密度分布．(2) 面上感生电荷的总电荷．解：(1) 选点电荷所在点到平面的垂足O 为原点，取平面上任意点P ，P 点距离原点为r ，设P 点的感生电荷面密度为σ．在P 点左边邻近处(导体内)场强为零，其法向分量也是零，按场强叠加原理，()024cos 0220=++=⊥εσεθb r q E P π 2分 ∴ ()2/3222/b r qb +-=πσ 1分(2) 以O 点为圆心，r 为半径，d r 为宽度取一小圆环面，其上电荷为 ()2/322/d d b r qbrdr S Q +-==σ总电荷为 ()q brrdrqb dS Q S-=+-==⎰⎰∞2/322σ 2分O9.9 如图所示，中性金属球A ，半径为R ，它离地球很远．在与球心O 相距分别为a 与b 的B 、C 两点，分别放上电荷为q A 和q B 的点电荷，达到静电平衡后，问： (1) 金属球A 内及其表面有电荷分布吗？(2) 金属球A 中的P 点处电势为多大？(选无穷远处为电势零点)q B解：(1) 静电平衡后，金属球A 内无电荷，其表面有正、负电荷分布，净带电荷为零． (2) 金属球为等势体，设金属球表面电荷面密度为σ． ()()0004///4/d εεσπ++π⋅==⎰⎰a q a q R S U U B A S P A∵0d =⋅⎰⎰AS S σ∴ ()()04///επ+=a q a q U B A P9.10三个电容器如图联接，其中C 1 = 10³10-6 F ，C 2 = 5³10-6 F ，C 3 = 4³10-6 F ，当A 、B 间电压U =100 V 时，试求：(1) A 、B 之间的电容；(2) 当C 3被击穿时，在电容C 1上的电荷和电压各变为多少？解：(1) =+++=321321)(C C C C C C C 3.16³10-6 F(2) C 1上电压升到U = 100 V ，电荷增加到==U C Q 111³10-3 C第十章 静电场中的电介质10.1 关于D的高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ (A) 高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零．(B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷． (C) 高斯面的D通量仅与面内自由电荷有关．(D) 以上说法都不正确． ［ C ］10.2一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E ，则导体球面上的自由电荷面密度σ为(A) ε 0 E ． (B) ε 0 ε r E ．(C) ε r E ． (D) (ε 0 ε r - ε 0)E ． ［ B ］10.3 一平行板电容器中充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．已知介质表面极化电荷面密度为±σ′，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为：(A) 0εσ'． (B) r εεσ0'． (C) 02εσ'． (D)rεσ'． ［ A ］10.4一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ，电位移为0D，而当两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质时，电场强度为E ，电位移为D，则(A) r E E ε/0 =，0D D =． (B) 0E E =，0D D rε=．(C) r E E ε/0 =，r D D ε/0 =． (D) 0E E =，0D D=． ［ B ］10.5如图所示, 一球形导体，带有电荷q ，置于一任意形状的空腔导体中．当用导线将两者连接后，则与未连接前相比系统静电场能量将 (A) 增大． (B) 减小．(C) 不变． (D) 如何变化无法确定． ［ B ］10.6将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板平行地插入两极板之间，如图所示. 则由于介质板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：(A) 储能减少，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 储能减少，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 储能增加，但与介质板相对极板的位置无关．(D) 储能增加，且与介质板相对极板的位置有关． ［ A ］10.7静电场中，关系式 P E D+=0ε(A) 只适用于各向同性线性电介质． (B) 只适用于均匀电介质． (C) 适用于线性电介质．(D) 适用于任何电介质． ［ D ］10.8一半径为R 的带电介质球体，相对介电常量为εr ，电荷体密度分布ρ = k / r 。

(k 为已知常量)，试求球体内、外的电位移和场强分布．解：取半径为r '→r '+d r '的薄壳层，其中包含电荷 ()r r r k V q '''==d 4/d d 2πρr r k ''=d π4应用D 的高斯定理，取半径为r 的球形高斯面．球内： 2012π2π4π4kr r d r kD r r=''=⎰ D 1 = k / 2 ， r D D ˆ11=(r ˆ 为径向单位矢量) E 1 = D 1 / (ε0εr ) = k / (2ε 0εr )， r E E ˆ11=球外： 222π2π4π4kR r d r kD r R=''=⎰ ()2222/r kR D = , r D D ˆ22= ()2020222//r kR D E εε==， rE E ˆ22=10.9半径为R 的介质球，相对介电常量为εr 、其体电荷密度ρ＝ρ0(1－r / R )，式中ρ0为常量，r 是球心到球内某点的距离．试求：(1) 介质球内的电位移和场强分布． (2) 在半径r 多大处场强最大？解：(1) 取半径为r '→r '＋d r '的薄壳层，其中包含电荷()r r R r V q ''π'-==d 4/1d d 20ρρ()r R r r ''-'π=d /4320ρ应用D的高斯定理，取半径为r 的球形高斯面．⎰'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'π=πrr R r r D r 03202d 44ρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-π=R r r 434430ρ则：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R r r D 4320ρ， r D D ˆ= ()r D E εε0/=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R r r r 43200εερ，r E E ˆ=，r ˆ 为径向单位矢量 (2) 对E (r )求极值0231d d 00=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R r r Erεερ 得 r = 2R / 3 且因d 2E / d r 2 <0， ∴ r = 2R / 3 处E 最大．10.10一平行板电容器，极板间距离为10 cm ，其间有一半充以相对介电常量εr ＝10的各向同性均匀电介质，其余部分为空气，如图所示．当两极间电势差为100 V 时，试分别求空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量. (真空介电常量ε0＝8.85³10-12 C 2²N -1²m -2)解：设空气中和介质中的电位移矢量和电场强度矢量分别为1D 、2D 和1E 、2E，则 U = E 1d = E 2d (1) D 1 = ε0E 1 (2)D 2 = ε0εrE 2 (3)联立解得 100021===dUE E V/m 29101C/m 1085.8-⨯==E D ε28202C/m 1085.8-⨯==E D r εε方向均相同,由正极板垂直指向负极板．10.11 一平行板空气电容器充电后，极板上的自由电荷面密度σ＝1.77³10-6 C/m 2．将极板与电源断开，并平行于极板插入一块相对介电常量为εr ＝8 的各向同性均匀电介质板．计算电介质中的电位移D ．场强E 和电极化强度P的大小．(真空介电常量ε0＝8.85³10-12 C 2 / N ²m 2)解：由D的高斯定理求得电位移的大小为D = σ ＝1.77³10-6 C/m 2由D =ε0εr E 的关系式得到场强E的大小为rDE εε0=＝2.5³104 V/m介质中的电极化强度的大小为P = ε0χe E = ε0 ( εr -1 )E ＝1.55³10-6 C/m 210.12 一导体球带电荷Q ＝1.0 C ，放在相对介电常量为εr ＝5 的无限大各向同性均匀电介质中．求介质与导体球的分界面上的束缚电荷Q'．解：导体球处于静电平衡时，其电荷均匀分布在球面上．在球表面外附近，以球半径R 作一同心高斯球面．按D的高斯定理有 4πR 2D = Q 。