计算过程如下：
找出初始基本可行解,即在(mn)产销平衡表上给
出m+n-1个独立的数字格。
求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的
检验数。判别是否达到最优解。如已是最优解， 则停止计算，否则转到下一步。
确定换入变量和换出变量，找出新的基本 可行解，在表上用闭合回路法调整。 注: m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它 们不构成闭回路。 重复2、3直到得到最优解为止。 以上运算都可以在表上完成。下面通过例 子说明表上作业法的计算步骤。
10
表中带圈的数字是非基变量的检验数，可 知所有检验数都大于等于零（基变量的检 验数都等于零），此解是最优解，这时最 小总运费为85元，具体的运输方案如下： A1分厂运5吨到销售公司B3，运2吨给销售 公司B4；A2分厂运3吨给销售公司B1，运 1吨给销售公司B4；A3分厂运6吨给销售公 司B2，运3吨给销售公司B4。
第二步：从行或列差额中选择最大者，选择它所 在行或列中的最小元素 B1 B2 B3 B4 产量 A1 7 A2 4 A3 销量
3
6 6
9
5
6
A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4 3 1 7 11 9 4 3 2 10 10 8 5
Chapter 3 运输问题
第三步：对表中未划去的元素部分再分别计算出 各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并 填入该表的最右列和最下行。重复第一、第二步， 直到给出初始解为止。用此法给出例题的初始解 列于下表。 B1 A1 A2 A3 3 6 B2 B3 5 B4 2 1 3 产量 7 4 9
销地 产地 A1 A2 A3
销量
B1
B2
B3 5
B4 2 1 3 6
产
量 7 4 9
3 6 3 6 5
对此表给出的运输方案，我们用位势法进行检验见 下表。 销地 B3 B4 ui B1 B2 产地 3 3 10 A1 0 11 2 0 5 2 8 A2 -1 1 9 2 3 2 1 1 7 A3 -5 4 10 5 6 12 3 9 vj 2 9 3
销量
3
6
5
6
由以上可见：伏格尔法同最小元素法除在 确定供求关系的原则上不同外，其余步骤相 同。伏格尔法给出的初始解比用最小元素 法给出的初始解更接近最优解。 用伏格尔法得到该方案总运费为85元。
3.2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格（非基变量）的检 1 验数 cij CB B Pij ， i, j N 。因运输问题的 目标函数是要求实现最小化，故当所有的 1 cij CB B Pij 0 时，为最优解。下面介绍 两种求空格检验数的方法。
1
由单纯形法得知所有基变量的检验数等于0， 即
cij (ui v j ) 0 i, j B
例如：在例1的由最小元素法得到的初始解 中 x23 , x34 , x21 , x32 , x13 , x14 是基变量。这时对应的检验数是：
Chapter 3 运输问题
第一步：按最小元素法给出表3-8的初始解，作表 3-15。在对应表3-8的数字格处填入单位运价，见 表3-15。 第二步：在表3-15上在增加一行一列，在列中填 入 u i ，在行中填入 v j ，得表3-16
n
n
m
m
n
m
i
这是一个产销平衡问题。
所以模型只有m+n-1个独立约束方程。即 系数矩阵的秩=m+n-1。
即：运输问题的基变量个数是m+n-1;
由于有以上特征，所以求解运输问题 时，可用比较简便的计算方法，习惯上称 为表上作业法。
Chapter 3 运输问题
3.2 表上作业法
表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法， 其实质是单纯形法。
销地 产地 A1 A2 A3
B1
B2
B3 3
B4 10
ui 0 -1
1
2
4
2 9 3
5
-5
vj
10
Chapter 3 运输问题
在表3-17中还有负检验数，说明 未得最优解，还可以改进。 （表中右上角数字为单位运价， 左下角为检验数）

当某个检验数小于零时，方 案不为最优，如何调整？
（一）闭回路法 在给出调运方案的计算表上，表3.12，从 每一空格出发找一条闭回路，它是以某空 格为起点，用水平或垂直线向前划，每碰 到一数字格转90°后，继续前进，直到回 到起始空格为止。闭回路如图的（a）， （b），（c）等所示。

（a）
（b）
（c）
（二）位势法
用闭回路法求检验数时，需给每一空格找一条闭 回路。当产销点多时，这种计算很繁。下面介绍 较为简便的方法——位势法。 设 u1 , u 2 ,, u m ; v1 , v2 ,, vn 是对应运输问题的 m+n个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工 变量 xa 的 (m n) (m n) 初始基矩阵。人工变 量在目标函数中的系数 ca 0 ，从线性规划的 对偶理论可知,
第二步：在表3-5未划去的元素中找出最小 运价2，确定A2多余的1吨供应B3，并给出 表3-6，表3-7。
第三步：在表3-7未划去的元素中再找出最 小运价3；这样一步步地进行下去，直到单 位运价表上的所有元素划去为止。最后在 产销平衡表上得到一个调运方案，见表3-8。 这方案的总运费为86元。
最小元素法给出的初始解是运输问题的基 可行解，其理由是： （1）用最小元素法给出的初始解，是从单 位运价表中逐次地挑选最小元素，并比较 产量和销量。当产大于销，划去该元素所 在的列。当产小于销，划去该元素所在的 行。然后在未划去的元素中再找最小元素， 再确定供应关系。这样在产销平衡表上每 填入一个数字，在运价表上就划去一行或 一列。
有哪些 步骤呢？
如何安排运输方案？
Chapter 3 运输问题
举例
先画出问题的产销平衡表 B1 B2 B3 B4 产量
A1
A2 A3 销量
3
1 7 3
11
9 4 6
3
2 10 5
10
8 5 6
7
4 9
3.2.1
确定初始基本可行解
确定初始基可行解的方法很多，一般希望 的方法是既简便，又尽可能接近最优解， 下面介绍两种方法： 最小元素法和伏格尔（Vogel）法。
CB B (u1 , u2 ,, um ; v1 , v2 ,, vn )
1
而每个决策变量的系数向量 Pij ei em j ， 所以 CB B 1 P 。于是检验数 ij ui v j
ij cij CB B Pij cij (ui v j )
Chapter 1 线性规划与单纯形法
举例
例 物流网络配送问题 某物流公司需要将甲、乙、丙三个工厂生产 的一种新产品送到 A、B 两个仓库，甲、乙两个 工厂的产品可以通过铁路运送到仓库A，数量不 限；丙工厂的产品可以通过铁路运送到仓库B， 同样，产品数量不限。 公司管理层希望以最小的 成本运送所需的货物。
Chapter 3 运输问题
第一步：在表中分别计算出各行和各列的最小运 费和次小运费的差额，并填入该表的最右列和最 下行。（以例题为例） B1 A1 A2 A3 列差额 3 1 7 2 B2 11 9 4 5 B3 3 2 10 1 B4 10 8 5 3 行差额 0 1 1
Chapter 3 运输问题
1.
最小元素法
这方法的基本思想是就近供应，即从单位 运价表中最小的运价开始确定供销关系， 然后次小。一直到给出初始基可行解为止。 以例1进行讨论.
第一步：从表3-2中找出最小价为1，这表 示将A2的产品供应给B1。因a2＞b2，A2 除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产品。 在表3-3的（A2，B1）的交叉格处填上3。 得表3-4。并将表3-2的B1列运价划去，得 表3-5。
Chapter 3 运输问题
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1
B2
B3
4(+1)
B4
3(-1) +1 3 3 10
ui 0 -1 -5
3 6 2 9
1 (-1)
为了使产销平衡，把所有的闭回路上为偶数顶点的运输 量都减少为这个值，而其他的闭回路上的为奇数顶点的 运输量都增加这个值，即得到了调整后的运输方案，如 下表：
Chapter 3 运输问题
min Z Cij X ij
X ij ai ; j 1 m s t X ij b j i 1 X ij 0
n
m
n
i 1 j 1
(i 1,2,, m)
( j 1,2, n) (i 1,2,, m); ( j 1,2, n)
改进运输方案的办法——闭回路调 整法
我们已知当表中某个非基变量（即非基变 量所在的空格）的检验数为负值时，表明 未得最优解，要进行调整。我们在所有为 负值的检验数中，选其中最小的负检验数， 以它对应的非基变量为入基变量，如在本 x 24 24 ，选非基变量 1 例中 为入基变量，并以 x 24 所在格为出发点作 一个闭回路如表所示：
表中共有m行n列，总共可划（m+n)条直 线。但当表中只剩一个元素时，这时当在 产销平衡表上填这个数字时，而在运价表 上同时划去一行和一列。此时把单价表上 所有元素都划去了，相应地在产销平衡表 上填了(m+n-1)个数字。即给出了(m+n-1) 个基变量的值。
（2）这(m+n-1)个基变量相应的系数列向量 是线性独立的。 证：若表中确定的第一个基变量为xi1j1，它对 应的系数列向量为 因当给定xi1j1的值后，将划去第i1行或第j1 列，即其后的系数向量中再不出现ei1或 em+j1，因而Pi1j1不可能用解中的其它向量的 线性组合表示。