中国矿业大学大一第二学期理学院数学卷考试时间：120分钟 考试方式：闭卷院系__ _______班级___ ______姓名__ ________学号___ _______一 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ ）A 连续B 有间断点C 有界D 有原函数 2. ()22220limd d x x t t xe te t →∞=⎰⎰（ ）A 1B 0C 1-D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ ） A1x ⎰B 1311d x x -⎰ Csin d x x +∞⎰D1x +∞⎰4. 下列级数条件收敛的是（ ）A 12(1)sin nn n ∞=-∑ B12(1)35nn nn ∞=-+∑一 C 1(1)10nn n n∞=-∑ D 11(1)n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑5. 下列命题正确的是（ ）A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等；B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等；C 若重极限不存在，则累次极限也不存在；D 重极限存在，累次极限也可能不存在二、填空题（每空3分,共15分）1． 22222lim[]12n n nnnn n n →∞+++=+++ .2．10d x =⎰.3．2211(1)n x n∞=+∑的收敛域为 . 4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ⎧<<⎪==⎨⎪--<<⎩,则其傅里叶级数当0x =时收敛于 .5. 设2(,)cos(1)(f x y x y y =-+-，则(1,1)y f = . 三（10分）设,0p q >，且111p q+=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q≤+.四（10分）将函数22()arctan 1xf x x =-在0x =展开为幂级数.五（10分）把函数()(02)f x x x π=≤≤展开傅里叶级数.六（10分）设f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果0)(=⎰ba dx x f ，则],[,0)(b a x x f ∈≡.七（10分）求级数1211(1)(21)(21)n n n x n n -∞+=--+∑的收敛域及其和函数.八（10分）过点(4,0)作曲线y =的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求由这条切线与该曲线及x 轴绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.九（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，且()0f x a ≥>，证明：1()f x 在区间[,]a b 上也可积.中国矿业大学09~10学年第二学期 《数学分析(2)》试卷（A ）卷参考答案一 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数()f x 在 [,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上（ C ）A 连续B 有间断点C 有界D 有原函数2. ()22220limd d x x t t xe te t →∞=⎰⎰（ B ）A 1B 0C 1-D 发散 3. 下列反常积分中，收敛的是（ A ）A1x ⎰B 1311d x x -⎰ Csin d x x +∞⎰D1x +∞⎰4. 下列级数条件收敛的是（ A ）A 12(1)sin nn n ∞=-∑ B12(1)35nn nn ∞=-+∑一 C 1(1)10nn n n∞=-∑D 11(1)n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑5. 下列命题正确的是（ D ）A 若重极限存在，则累次极限也存在并相等；B 若累次极限存在，则重极限也存在但不一定相等；C 若重极限不存在，则累次极限也不存在；D 重极限存在，累次极限也可能不存在二、填空题（每空3分,共15分）1． 22222lim[]12n n nn n nn n→∞+++=+++ 4π.2． 10d x =⎰2.3． 2211(1)n x n∞=+∑的收敛域为 [2,0]-.4. 设22,0()0,0,0x x f x x x x ππ⎧<<⎪==⎨⎪--<<⎩,则其傅里叶级数当0x =时收敛于 22π-.5.设2(,)cos(1)(f x y x y y =-+-，则(1,1)y f = 0. 三（10分）设,0p q >，且111p q+=，又设,0a b >，试用函数的凸性证明： 11p q ab a b p q≤+. 证 令 ()ln f x x =-，则 21()0(0)f x x x''=>>，所以()f x 是(0,)+∞上的凸函数。

那么对任意12,(0,)x x ∈+∞， ,0p q >，且111p q+=，有 12121111()()()f x x f x f x p q p q+≤+， 即有12121111ln ln ln x x x x pq p q ⎛⎫-+≤-- ⎪⎝⎭.也就是12121111ln ln ln x x x x p q pq ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭ 若,0a b >，取12,p qx a x b ==，得1111ln ln ln p q p q a b a b p q pq ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭， 两边取指数就是11p q ab a b p q≤+. 四（10分）将函数22()arctan1xf x x=-在0x =展开为幂级数. 解 22222()arctan2(1)11n nn x f x x x x ∞='⎛⎫'===- ⎪-+⎝⎭∑,1x <, 因此20()(0)()02(1)xxn n n f x f f t dt t dt ∞='=+=+-∑⎰⎰210(1)221n n n x n ∞+=-=+∑，1x <五（10分）把函数()(02)f x x x π=≤≤展开傅里叶级数.解 20012a xdx πππ==⎰，2202111cos sin sin 0n a x nxdx x nx nxdx n n ππππππ==-⎰⎰221cos 00nx n ππ==2202111sin cos cos 0n b x nxdx x nx nxdx n n ππππππ==-+⎰⎰22212sin 0nx n n nππ=-+=-所以02()sin n f x x nx nπ∞===-∑，02x π<<六（10分）设f 为],[b a 上的非负连续函数，证明：如果0)(=⎰ba dx x f ，则],[,0)(b a x x f ∈≡.证 反证法 假设()f x 在[,]a b 不是恒为为零，即存在0[,]x a b ∈，0()0f x >.不妨设0a x b <<，由连续函数的性质，存在0(,)(,)U x a b δ⊂，当0(,)x U x δ∈时，有0)(21)(00>>x f x f 从而⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x abadx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(⎰δ+δ-≥00)(x x dx x f 0)()(210000>=>⎰+-δδδx f dx x f x x 与条件矛盾，假设不成立。

故],[,0)(b a x x f ∈≡.七（10分）求级数1211(1)(21)(21)n n n x n n -∞+=--+∑的收敛域及其和函数. 解 易求的级数的收敛域为[1,1]-。

令1211(1)()(21)(21)n n n S x x n n -∞+=-=-+∑，(0)0S =。

于是 121(1)(),[1,1]21n nn S x x x n -∞=-'=∈--∑，令 (),0()0,0S x x x f x x '≠⎧=⎨=⎩，那么 ()f x '=122211(1)1n n n x x ∞--=-=+∑， 从而()()arctan xf x f x dx x '==⎰，即得()arctan S x x x '=，于是201()arctan arctan arctan 222xx x S x x xdx x x ==-+⎰，[1,1]x ∈-。

八（10分）过点(4,0)作曲线y =的切线．(1) 求切线的方程；(2) 求由这条切线与该曲线及x 轴绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积. 解 (1)令()f x =则()f x '=.过点(4,0)作曲线y =的切线,切线与x 轴交点的横坐标是2342y x x y x--=='-+， 得52x =，即切点横坐标为52x =。

于是切线斜率为5()2f '=，切线方程是4)y x =-。

(2) 所求旋转体的体积为224355224)6x dx dx πππ⎛⎫--=⎪⎝⎭⎰⎰。

九（10分）设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，且()0f x a ≥>，证明：1()f x 在区间[,]a b 上也可积.证 因为()0f x a ≥>，故110()f x a<≤。

由f 在[,]a b 上可积，任给0ε>，必分别存在分割T ，使得2f ii T x a ωε'∆≤∑。

对于[,]a b 上T 所属的每一个i ∆，有1,,11()()supsup()()()()ii fi x x x x f x f x f x f x f x f x ω''''''∈∆∈∆'''-=-='''''' 2,1sup ()()i x x f x f x a '''∈∆'''≤- 21f i aω≤所以有121ffi i ii TTx x m ωω∆≤∆∑∑ε<.也就是1f在[,]a b 上可积。