实现从已知概率分布的随机数的抽样，进行大量的计算随 机模拟实验，从中获得随机变量的大量试验值。各种概率 模型具有不同的概率分布，因此产生已知概率分布的随机 变量，是实现Monte Carlo方法的关键步骤。最简单、最基 本、最重要的一个概率分布是(0，1)上的均匀分布 (或称矩 形分布)。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。对 于其他复杂概率模型的概率分布可以用数学方法在此基础 上产生。因此，随机数是Monte Carlo模拟的基本工具。
pij=p(xj | xi) = p(xi →xj)
(5.4)
从 MC模拟的应用来说，马尔科夫链的最重要的性质是，
存在着各个状态的一个不变分布而最终状态应当遵从某一
特定分布。若温度不变，则产生的状态就相应于热平衡分
布
pxi
exp
H xi
kT
(5.5) 8
5.1 基本思想和一般过程
不变分布定义 若一个概率分布{uk}满足以下条件
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5.1 基本思想和一般过程
5.1.3 蒙特卡罗的一般过程
Monte Carlo的计算过程就是用数学方法在计算机上实现对 随机变量的模拟，以求得对问题的近似解。
用蒙特卡罗方法解题的一般过程可归结为以下三个步骤： (1) 构造或描述问题的概率过程 对于本身就只有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要
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5.2 随机数和伪随机数
5.2.1 随机数
矩形分布也常称为均匀分布，其中最基本的是单位矩形分 布，其分布密度函数如下：
1, 当0 x 1
f (x) 0, 其他点处
(5.8)
利用某些物理现象可以在电子计算机上产生随机数，但其 产生的随机数序列无法重复实现，使程序无法进行复算， 结果无法验证。同时需要增添随机数发生器和电路联系等 附加设备，费用昂贵。因此，在Monte Carlo方法中一般 不采用随机数，而采用伪随机数。
蒙特卡罗方法
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5.1 基本思想和一般过程
5.1.1 基本思想
蒙特卡罗方法亦称统计模拟方法
利用随机数进行数值模拟的方法
在物理问题中，通常要研究一些随机变量的分布规律，比 如分布函数的形式，分布参数的估值等。利用解析方法来 求解非常困难，利用实验研究随机变量的分布需要反复进 行大量的实验，不仅耗资巨大，而且有些物理量或物理行 为根本就难以测量或无法测量。这时就可以根据待求随机 问题的变化规律和物理现象本身的统计规律人为地构造出 一个合适的概率模型来模拟实际的物理过程，并按照该模 型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求
是正确地描述和模拟这个概率过程。对于本来不是随机性 质的确定性问题，比如计算定积分、解线性方程组及偏微 分方程边值问题等，要用蒙特卡罗方法求解，就必须事先 构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求的 问题的解。
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5.1 基本思想和一般过程
(2) 实现从已知概率分布的抽样 有了明确的概率过程后，为了实现过程的数字模拟，必须
设一个系统的状态序列为x0,x1,…,xn,…,如果对任何n都有概率
p(xn|xn-1 ,…,x1,x0) = p(xn|xn-1)
(5.2)
则称此序列为马尔科夫序列或马尔科夫链。
设将粒子的位置空间(一维，二维或三维)划分为许多大小相 等的网格。如果粒子跳到新的位置后就忘记了原来的格点位 置，这就是随机行走。如果粒子跳到新的位置后还记得原来 的格点位置，并回避与走过的路径交叉或重复，就叫做自回 避行走。
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5.1 基本思想和一般过程
(3) 建立各种统计量的估计，得到问题的求解 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即可对所得
抽样值集合进行统计处理，从而产生待求数字特征的估计 量，给出问题的求解及解的精度估计。
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5.2 随机数和伪随机数
由单位矩形分布中所产生的简单子样称为随机数序列，其 中的每一个体称为随机数。而所谓伪随机数，则是指用数 学递推公式所产生的随机数。由于这种办法属于半经验性 质，因此只能近似地具备随机数性质。判断产生伪随机数 的某种方法的好坏，首先是它均匀性和独立性是否能较好 地具备；其次是它的费用大小，在电子计算机上产生伪随 机数，费用即指所用计算机的时间。由蒙特卡罗方法解题 一般过程可知，随机数的产生是实现Monte Carlo方法的关 键步骤，是Monte Carlo模拟的基本工具。
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5.1 基本思想和一般过程
马尔科夫链是一种随机行走的运动状态。任何一次运动的
结果仅仅依赖于前一次运动的结果，因此序列x0, x1, …, xn发生的概率可以因式分解为
p(x0 x1 … xn-1xn) = p(xn | xn-1)… p(x1 | x0)p(x0) (5.3)
初始状态的绝对概率p(x0)=1。因此将这些条件概率称之为 单步跃迁概率，或转移概率。
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针相对于平行线的位置可以用一个随机向量表示
A [0, d )
[0, )
随机向量平均分布在区间[0,d)×[0,). 其概率密度函数为1/d. 针与平行线相交的概率为
p
0
l sin 0
1 d
dAd
2l
d
(5.1)
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5.1 基本思想和一般过程
5.1.2 马尔科夫(Markov)过程
uk>0，k=1，2，….
uk 1
k
u j ui pij
i
(5.6) (5.7)
则称概率分布{uk}是不变的或定常的。其中跃迁概率{pij} 形成一
遍历态定义 一个状态如果是非周期性的并且是经久的，具有一个有限
的平均返回时间，则称这个状态是遍历态。一个由遍历态 组成的马尔科夫链叫做遍历的马尔科夫链。 绝对概率取向定理 一个简约的非周期性链，当且仅当它是一个遍历链时，这 个链具有一个不变分布。这时对于一切的k都有uk>0，并 且不论其初始分布如何，各个绝对概率都趋于uk。 这个条件保证了，不管初始分布如何，马尔科夫链中的状 态最终会遵从某个惟一的分布。这个定律在计算物理学的 模拟领域中具有基础重要性。
问题的解。这种方法称为蒙特卡罗方法 。
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蒙特卡 罗方法
直接方法
可以分解为各个独立 过程的随机性事件
统计方法 数值求解多维定积分
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5.1 基本思想和一般过程
Buffon投针实验
1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计值
L
d
p 2L
d 4
长度为 l的针随机地落在相距为d>l 的一组水平线之间， 求针与线相交的概率？