极端情况下的套利策略

假定远期价格偏低为39元。 套利者可以卖空股票，将所得收入购买3个月期的远期合 约 卖空股票3个月后所得收益为： 40e0.053/12 3个月末，套利者支付39元（远期价格），交割远期合约

规定的股票，再将其送到股票市场平仓

净收益为：

40.5元－39.00元=1.50元

例2

考虑购买一份付息票债券的远期合约，债券的当前价格为900元。 假定远期合约期限为一年，债券在5 年后到期， 该远期合约实际上是相当于一份一年之后购买4 年期债券的合约。 我们假设6个月和12个月后，债券会支付40元的利息




其中第二次付息日恰好是远期合约交割日的前一天。

6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别是9%和10%。
• 说明：
1. 因为当同一资产的远期和期货两种合约的到期 日相同时，该资产的远期价格和期货价格是非 常近似的，所以本章将以分析相对容易一些的 远期合约为研究对象，得到的结论也适用于期 货价格。
2. 本章将明确区分两类资产：一是投资者仅为
了进行投资而持有的资产；二是为了进行消 费而持有的资产。
复习连续复利

假设数额 A以年利率 R 投资了 n年。 如果利率按每一年计一次复利计算（年复利），则以上 投资的终值为：
A(1 R)n

如果每年计m次利息，则终值为：
A(1 R / m)mn
复习连续复利

当m趋于无穷大时，则称为连续复利（continuous compounding） 终值为：



当前的远期价格和期初的远期价格的差，即是当前远期合约的价值。
远期合约

远期合约对冲的主要作用是

锁定价格（lock a price）

远期合约的重要性质

期初没有现金流发生
No money changes hands at the start
远期合约的交割和结算

两种方式

交割 现金结算
一般结论

我们考虑一个不支付收益的投资资产的远期合约，资产 即期价格为 S


T 是远期合约到期的时刻
r 是以连续复利计算的无风险年利率

F 是远期价格
套利策略

即期买入1单位资产 卖出一张远期合约

现金流分析

远期合约开仓时价值为 0，所以该策略的起始成本为S 远期合约规定的标的资产在时刻 T 以远期价格成交，资 产提供的收益为 0பைடு நூலகம்（无红利）

收益

3个月后，卖空股票所得的收益增加到元。套利者根据远期合约 条款以39元买入股票，用来在股票市场上平仓。所以，3个月后 套利者的净盈利为

40.5元－39元=1.50元
推论

表3-1策略只有当远期价格高于40.5元时才会赢利

表3-2策略只有在远期价格低于40.5元时才会盈利

在无套利的前提下，价格一定是精确的40.50元

债券和利率远期（固定收益证券的远期） 实物远期
红利的影响

远期合约不对股票的红利给与补偿
区分定价（pricing）和估值（valuation）

估值（valuation）

价值（value）是购买或出售远期合约所获得的收益 远期合约的价值大致等于，远期价格与交割价格的差值

定价（pricing）

第二次付息可收到40元


以远期合约规定价格卖出债券可获得930元
净盈利为：

40元+930元－952.39元=17.61元
表3-3

附息票债券的远期价格偏高时的套利机会
市场情况

一年后交割的附息票债券远期合约的价格为930元。债券的即期 价格为900元。预期债券在6个月后、12个月后各支付40元的利息。 6个月和12个月期的无风险年利率分别为9%和10%。
假设条件

无交易费用； 所有的交易净利润使用同一税率； 市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金；



当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动。
再回购利率

期货和远期市场中所使用的无风险利率

再回购利率（repo rate）

再回购协议（repo or repurchase agreement）
f 0 S0 FerT 40 43e 0.050.25 2.47
这种情况下，合约价值为负，应该由空头向多头支付现金流。这样才能够消 除无风险套利机会。
这样， 在任意的远期价格水平上， 都可以通过期初的现金流交换来消除无风
险套利机会。合约双方可以根据远期价格水平对所交换的现金流的大小进行协

合约开始生效时， F=K 且 f=0 随着时间的变化，f 和F 都在变化

第一节
远期和期货定价
一、不支付收益的投资资产的远期价格

最容易定价的远期合约是基于不支付收益的投资资产的 远期合约

不支付红利的股票和贴现债券（无息票利息的债券）就 是诸如此类的投资资产
例1

考虑一个基于不支付红利的股票的远期合约，3个月后到 期。
期初的现金流选择
考虑刚才的例子，假设股票远期合约为 3 个月期，股价 40，远期价格为 39，
无风险利率为年利率 5%。 我们已经说明如果远期价格为 39 元的话， 会给远期合
约的多头带来套利收益。 针对这种情况， 我们可以要求远期的多头事先支付一定
的现金，以此来消除套利机会。例如，假定多头在期初向空头支付 1.48 元。这
金融工程学
张玉新
第二章
远期和期货的定价和估值
主要内容：
讨论远期价格和期货价格与其标的资产价 格之间的相互关系。
（1）分别对无收益的投资资产、提供已 知现金收益的投资资产、提供已知红利收 益率的投资资产的远期合约给出定价公式
（2）利用得出的公式对股票指数期货、 外汇期货和黄金白银的期货合约进行理论 定价
f ：当前远期合约多头的价值
F：当前时刻远期合约和期货合约中标的资产 的远期价格和期货价格，分别简称为远 期价格和期货价格 r ：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连 续复利计算的无风险利率。
远期价格F 完全不同于远期合约的价值f

任何时刻的远期价格都是使得远期合约价值为0的交割价 格 （相当于重新签订新的远期合约）
表3-2 不付红利股票的远期价格太低时的套利机会

市场情况

期限为3个月的股票远期合约的远期价格为39元，3个月期无风险 利率为年利率5%，当前股价为40元，不付红利。

套利机会

远期价格相对于当前股价偏低，套利者可以 1、即期卖空股票，将收益作3个月期的无风险投资 2、持有3个月期远期合约的多头
R mn l im A(1 ) Ae Rn m m

通常认为连续复利与每天计复利等价
AeRc n A(1 Rm / m)mn
连续复利与年计m次复利的转换
AeRcn A(1 Rm / m)mn
解得：
Rc m ln(1 Rm / m)
Rm m(eRc /m 1)
样期末远期的多头就损失了 1.48 的本息和。注意，1.48 元加上 5%的利息恰好是 1.5 元，这正是无风险套利收益。
这样，如果远期价格是 39 的话，期初时刻远期合约的价值就是 1.48。
f 0 S0 Fe rT 40 39e 0.050.25 1.48
因此，在这一远期价格水平，一方必须向另一方支付现金流。因为得出的合 约价值为正，应该是合约的多头向空头进行支付。 如果远期价格是 43，远期合约的价值就是

注意事项

履约方式并不是在到期日才选择的，而是在期初就确 定了的。当交割很困难的情况下，大多选择现金结算。
违约风险

远期合约的结构决定了只有应付额较大的一方才可能违 约
远期合约的种类

按照标的资产的不同来区分远期合约

证券远期（equity forward）

单个股票的远期合约 股票组合的远期合约 股票指数远期合约


投资者当前付出了S，在未来T 时刻得到无风险收益F

F 必须等于如果将S 进行无风险投资而得到的收益
F Se rT
F
远期合约定价的一般性方法

分析的目的

确定远期价格： 远期合约的价值：
F
f 0和f t

分析过程
在到期日，我们可以观测到到期时刻的现货价格 ST 。多头头寸的持有者可 以按照预先确定的价格 F 来购买标的资产。所以到期时刻合约的价值就是：

远期合约的价格是合约预先确定的、在到期日的价格或汇率 一般称为远期价格（forward price）或者远期汇率（forward rate） 定价就是要确定这种价格或者汇率 确定期初的交割价格
定价方法

本章将利用无套利方法进行定价

基本思路：

构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值也一定 相等，不然的话，就存在套利机会

证券的出售方承诺在规定的未来时刻按照规定的价格重新购回该 证券


相当于债券的购买者向出售者提供了短期贷款
根据贷款的利息成本、出售价格和回购期，可以计算出隐含利率， 这种隐含利率称作再回购利率（repo rate）

利用再回购协议融资的优势是利率比银行借款低
符号说明
T：远期和期货合约到期的时刻，单位为年 S：标的资产的即期价格 K：远期合约中的交割价格