|xna｜＜则称a是数列｛xn}的极限或者称数列{xｎ}收敛于a记为 或xna(n)
（２)函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当 )有定义,如果存在常数A对于任意给定的正数(不论它多么小）总存在正数（或存在X）使得当ｘ满足不等式0<｜xx０|时（或当 时）恒有｜f（x)A|
那么常数A就叫做函数ｆ（x）当 （或 ）时的极限记为
或f(x)A(当ｘx0)(或 )
类似的有:如果存在常数A对 当 ( )时，恒有 ,则称 为 当 时的左极限（或右极限)记作
显然有
如果存在常数A对 当 时,恒有 ，则称 为 当 (或当 ）时的极限
记作
显然有
２、极限的性质
（1)唯一性
若 , ,则
若 ，则
（2)有界性
（ ）若 ,则 使得对 恒有
（ ）若 ,则 当 时,有
若函数 在 内每点都连续，且 , ，则称函数 在 上连续,记作
（2）函数的间断点
设 在点 的某去心邻域 内有定义
若函数 :
(ｉ）在点 处没有定义
（ ）虽然在 有定义但 f(x)不存在
(３）虽然在 有定义且 f（x)存在但 f(x)ｆ( )
则函数ｆ(x)在点 为不连续而点 称为函数f(x)的不连续点或间断点。
设点 为 的间断点,
(1) ，则称点 为 的可去间断点,若(2) ,则称点 为 的跳跃间断点,
可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点
(3) 则称点 为 的无穷型间断点,
(4)若 不存在且都不是无穷大,则称点 为 的振荡型间断点,
无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点
1１、连续函数的运算
（1）连续函数的四则运算
(1)
（2)
(3）
（4) 当 (或 ）时有 ,则
(5) 当 （或 ）时有 ,则
（6) 则
8、无穷小量的比较
若（1) ,则称当 时， 与 是同阶无穷小。
(2） ,则称当 时， 与 是等价无穷小,记作 （ )。
(3） ，则称当 时, 是 是高阶无穷小,记作 （ )。
（4) （或 ),有 ，则记 （ ）
（５） ，则称当 时, 是 是k阶无穷小，
４、极限的运算法则
（1）若 ,
则(i）
(iｉ)
（iii) （ )
(2）设( ) （ ）当 时
（ )
则
5、两个重要极限
(1）
, ，
（2)
6、无穷小量与无穷大量的概念
（1）若 ，即对 当 （或 ）时有 ，则称当 无穷小量
（2）若 即对 当 (或 ）时有 则称当 无穷大量
7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则
9、常用的等价无穷小
当 时，有(1)
（２) （３） （4）
1０、函数连续的概念
（1）函数连续的定义
设 在点 及其邻域 内有定义，若
（ )
或( )
或(iii） 当 时，有
则称函数 在点 处连续
设 在点 内有定义,若 ，则称函数 在点 处左连续，
设 在点 内有定义,若 ，则称函数《高等数学》-各章知识点总结——第章
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第1章函数与极限总结
1、极限的概念
（1)数列极限的定义
给定数列{xn},若存在常数ａ，对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N使得对于n＞N时的一切n恒有
( ）若 ，则 当 时,有
（３)局部保号性
（ ）若 且 则 ,当 时，恒有
（ )若 ,且 ，则 当 时，有
3、极限存在的准则
（ ）夹逼准则
给定数列
若① 当 时有
，
则
给定函数 ,
若 当 (或 ）时,有
,
则
( ）单调有界准则
给定数列 ，若 对 有 使对 有 则 存在
若 在点 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则 (或 ）存在
若函数 在点 处连续
则 在点 处也连续
（2）反函数的连续性，
若函数 在区间 上单调增加（或单调减少)且连续，则其反函数 在其对应的区间 上也单调增加（或单调减少)且连续。
（3）复合函数的连续性
设函数 由函数 复合而成, ,
若(1）
(２） 则
（或 ）
（4）初等函数的连续性
一切初等函数在其定义区间内都是连续的
（5）闭区间上连续函数的性质
（i)有界性若 ,则 在 上有界
( ）最大值、最小值定理，若 ,则 在 上一定有最大值和最小值
( ）零点性若 ，且 则至少存在一点 使得
( )介值性若 ,且 , 是介于 之间的任一值，则至少存在一点 使得