第一章习题作业一 (2+2+4+2)：1. 求下列复数的实部、虚部、模、主值幅角： ;524321)1(iii i ---- 3)3()2(-+i2. 解方程：;08)1(3=+i z 031)32()2(2=+-+-i z i z3. 画出下列关系所表示的z 点的轨迹的图形，确定它是否为区域：;2||1Im )1(<>z z 且 ;3Re 24/)1arg(0)2(≤≤π<-<z z 且 |;2||2|)3(+=-z i z 4/a r g02||)4(π<<<z z 且4. 下列函数在复平面上哪些点不连续？ ;1)1(2+=z zw z w a r g )2(=作业二 (4+2+2+2+2)：1. 已知解析函数f (z ) 的实部 u (x , y ) 或虚部 v (x , y )，求此解析函数：;)2(,)1(2)1(i f y x u -=-= 0)2(,)2(22=+=f y x yυ2. (1) 利用极限的性质证明Hospital 法则：若)(),(z z f ϕ在0z 点解析，0)()(00==z z f ϕ，,0)(0≠'z ϕ 则)()()()(lim000z z f z z f z z ϕϕ''=→；(2) 求极限z e z z 1lim 0-→3. 设 3z w =确定在沿负实轴割破的 z 平面上，且i i w -=)(，求)(i w -及)(i w -'4. 解方程 ;31)1(i e z += 3/t a n)2(i z =5. 对y i x z +=，计算 |)exp(|)2(|;sin |)1(2z i z 。
第二章习题作业三 (2+1+1+3+3)： 1. 计算积分 (1) ⎰++-=idz x i y x Q 1021,)( 积分路径是直线段(2) ,)(2⎰-=L n a z dzQ n 是整数，L 是以a 为圆心、r 为半径的上半圆周2. 利用积分不等式证明：,|)(|22π≤+⎰dz y i x L其中L 是以0为圆心、半径为1的右半圆周3. 计算积分 ⎰+--+=idz z Q 2221)2(4. (1) 已知ξξξξξd zz f ⎰=-++=3||2173)(，求)1(i f +'；(2) 计算积分,1||dz z e z z⎰=从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e5. 分别针对以下条件，计算积分⎰-π=L z z z dze i Q 3)1(21(1) z =0在L 内，z =1在L 外；(2) z =1在L 内，z =0在L 外；(3) z =0，z =1都在L 内第三章习题作业四 (2+6+2)：1. 计算下列级数的收敛半径：;2)1(1kk k z k ∑∞= k k k k z ∑∞=-+1])1(2[)2(2. 将下列函数在z =0展开为幂级数，并指出其收敛范围： ;)1(1)1(3z - ;s i n )2(0dz z z z ⎰ 211)3(z z ++3. 将函数2)(+=z zz f 展开为 (z –1) 的幂级数，并指出其收敛范围作业五 (6+4)：1. 将以下函数在指定环域内展开为洛朗级数：∞<<<<-+||1,1||0,)1(1)1(2z z z z z∞<-<--|1|0),11exp()1()2(2z zz 2||0,)1(1)3(22<-<+i z z提示：利用泰勒展开∑∞=<+=-021||,)1()1(1k kq q k q2. 求出下列函数的奇点(包括∞)，并判断奇点的类型，指出极点的阶数21cos)4()3(;tan )2(;11)1(2272--+-z z z z e e zz第五章习题作业六 (4+6)：1. 求下列函数在各孤立奇点 (包括∞) 处的留数：)()1()4(;c o s )3();11exp()2(;)1)(1()1(22N m z z zz z z z zmm∈+-+-2. 计算围线积分： ;1)2(;s i n )1(1|1|44||⎰⎰=-=+z z z dzz z dz),,1||,1|(|)()()3(1||N n b a b a b z a z dzz nn ∈≠<<--⎰=作业七 (8+2)： 1. 计算实变积分;11)1(42⎰∞+∞-++dx x x ⎰+∞∞-++;204sin )2(2dx x x x⎰⎰ππθθ+<θ+θ-202202cos 11)4();1|(|cos 211)3(d b d bb2. 计算主值积分⎰+∞∞->+)0()(sin 22a dx a x x x第六章、第七章习题作业八 (每题2分)：1. 长为l 的均匀细杆，两端都有强度为q 0的恒定热流流入。
写出此热传导问题的边界条件。
2. 匀质的弹簧原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止。
放手任其振动，写出定解条件。
3. 求解初值问题22)0,(,sin )0,(,x x u x x u u a u t xx tt ===。
4. 求解偏微分方程032=--yy xy xx u u u 的通解。
5. 求解无界弦的强迫振动⎩⎨⎧===-xx u x u xt u u t xx tt sin )0,(,0)0,(sin第八章习题 (一)本章计算题可能用到： (1) 对)(N n ln k n ∈π=和函数)(x f ， ln n n n lnk x f k x f k x f x k dx x f x k 05)4(3)2(0...)])()()()(cos([)()sin(++--=⎰ lnn n n ln k x f k x f k x f x k dx x f x k 06)5(4)3(2)1(0...)])()()()([cos()()cos(++-=⎰ (2) 对不为零的常数p 、q 、r ，常微分方程r qx y p y +=-''2的通解221)(p rx q e c e c x y x p x p +-+=- (3) 对常数p ，常微分方程)(x f y p y =+'的通解ξξ+=⎰-ξ-d f e ec x y xx p xp )()(0)(作业九 (2+5+3)：1. 对两端固定的弦，求解自由振动⎪⎩⎪⎨⎧===π=>π<<=0)0,(,sin 3)0,(0),(),0()0,0(2x u x x u t u t u t x u a u t x x t t2. 已知长为l 的均匀细杆初始温度分布为l x x x u <<ϕ=0),()0,(。
用分离变量法针对以下两种情况，求解杆的温度分布，注意边界条件的不同引起的本征函数差别。
(1) 杆的两端保持绝热； (2) 杆的左端温度恒为零，右端绝热。
3. 用分离变量法求解边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====<<=+)1()0,(,0)1,(0),1(),0(1,0,0x x x u x u y u y u y x u u yy x x第八章习题 (2)作业十 (2+3+2+3)：1. 求解纯强迫振动⎪⎩⎪⎨⎧====+=0)0,(,0)0,(0),(),0(2x u x u t l u t u x A u a u t x x t t2. 求解矩形区域b y a x <<<<0,0上泊松方程的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=====+====0||0||00b y y y a x x yy x x u u u u Au u3. 长为l 的均匀细杆左端固定于x =0，处于静止平衡状态。
从t =0开始一直有一个沿杆长方向的力加在杆的右端，每单位面积的力为Q 。
求 t >0时，杆上各点的位移。
4. 长为l 的均匀细杆侧面绝热，初始温度为0。
杆的一端x =l 温度永远保持为0，另一端 x =0的温度随时间直线上升，即 0,|0>==c t c u x 为常数。
求t >0时，杆的温度分布。
作业十一 (每题2分)：求解以下二维区域的狄利克雷问题：1. 圆内区域⎪⎩⎪⎨⎧=<=∇=ϕρρcos |)(02A u a u a；2. 圆环区域⎪⎩⎪⎨⎧=ϕϕ=ϕ<ρ<=∇0),(sin ),()(021212r u r u r r u ；3. 扇形区域⎪⎩⎪⎨⎧ϕ===β<ϕ<<ρ=∇=ρβ=ϕ=ϕ)(|0||)0,(002f u u u a u a；4. 圆外区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=ϕρ+=>ρ=∇∞→ρ=ρ0)cos (lim 0|)(002E u u a u a ；5. 圆内区域⎪⎩⎪⎨⎧=<-=∇=0|)(42a u a u ρρ ，已知4)(222=+∇y x第十四章习题作业十二 (每题2分)：1. 在x =0的邻域求解常微分方程0)22()1(2=μ+'+-''-y y x m y x 的幂级数解，其中0≥m 是常数。
参数 μ 取哪些值，可使幂级数解退化为多项式？2. 计算积分dx x P x dx x P x P x l l l 2112111])()[1()2(;)()()1(⎰⎰-+-'-3. 将函数3)(x x f =按勒让德多项式展开。
4. 对半径为1的带电球面，已知球面上的电势分布为)cos 3cos 21(|201θθυ++==r u ，0υ为常数。
求出球面内部和球面外部各点的电势。
5. 有一个球心在原点的均匀球体处于稳定状态，球面上温度分布为ϕθ==cos sin |a r u 。
求解球内的温度分布。
第十五章习题作业十三 (每题2分)：1. 在x =0的邻域求解拉盖尔 (Laguerre) 方程0)1(=+'-+''y y x y x λ。
参数λ取哪些值，可使幂级数解退化为多项式？若某个解是n 次多项式，且最高项系数为 (–1)n ，则称之为拉盖尔多项式，记为L n (x )。
对n =0, 1, 2, 3, 写出 L n (x ) 的表达式。
2. 对a >0，计算含贝塞尔函数的积分： dx x J x dx x J aa⎰⎰01400)()2(;)()1(3. 有一个无穷长的圆柱体，半径为R ，初始温度为u 0，表面温度维持为0，求柱体内温度的变化。
4. 半径为R 的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面H R u t )/1(|220ρ-==，膜上各点初速度为零。
求解膜的振动情况。
5. 长为l 、半径为a 的圆柱型空腔内电磁振荡的定解问题为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂==+∇===0||0|002l z z a z u zu u u u ρλ，证明：电磁振荡的固有频率为...,2,1,0,)()(220=+==n ln a x c c m πλω，0m x 是)(0x J 的第m 个正零点。