转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
+ +
m2 m2
y2
m1 + m2
= =
m2 e cost
m1 + m2
m2 e sint
m1 + m2
上式对t求二阶导数，得
d 2 xc dt 2 d 2 yc dt 2
于速度v，即 F = mv ，其中 m为比
例系数 。求活塞相对于液压缸的
运动规律。
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解：把活塞抽象为质点
d2x m dt2
=
-F或m
dv dt
=
-mv
dv = -kv(k = m )
dt
m
v dv = - t kdt
v0
x
v
dx =
0
0
t 0
v0e-
kt
dt
解得x = v0 (1- e-kt )
若 F = 0，则 mv =常矢量，质点的动量守恒。
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二、质点系的动量定理
1. 质点系的质心及动量
xc =
mi xi M
yc =
mi yi M
Mvcx = mivix
Mvcy = miviy
求导，得
或M vc = P
2. 质点系的动量定理
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d d(m tivi)=
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例3 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水平面，斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大 三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) = 0 水平方向Px =常量。
运动分析，设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 vr ，
则小三角块 va =v +vr
=
m1
a
+
l 2
+
m2
a
M
m1 + m2
y a
s
当人到B点时，小车在 A'B' 位置
A’
A
xc'
=
m1
a
-
s
+
l 2
+
m2
(a
m1 + m2
-
s
+l)
由于 xc = xc' = 常量，故
m1
a
+
l 2
+
m2a
=
m1 a
-
s
+
l 2
+
m2 (a
-
s
+l)
m1 + m2
m1 + m2
解得 s = m2l m1 + m2
求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物（抽象为质点）为研究对象
②受力分析如图所示
③列微分方程
v2 m
=T
- G cosj
l
T = m(g cosj + v2 )
l
j v T
当j = 0时，v = v0,T Tmax
Tmax
=
m(g
+
v02 l
)
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例2 液压减振器的活塞在获得初速度 vo后作直线运动。活塞的阻力F正比
由水平方向动量守恒及初始静止；则
M (-v)+mvax =0
M (-v)+m(vrx -v)=0
\vrx = M +m Srx = M +m vm Sm
\
S
=
m M+
m
S
rx
=
m M+
m
(a
-
b)
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பைடு நூலகம்
第三节 质心运动定理
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将 P = M vc 代入质点系动量定理，得
( ) dM vc=dp=F (e)或 M ac=F (e)
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l
B’
B
x
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例5 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量 为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心
O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
称为质点的运动微分方程。
1.直角坐标形式
max
=
m
d2x dt 2
=
Fx
may
=
m
d2y dt 2
=
Fy
maz
=
m
d2z dt 2
=
Fz
2.自然形式
Fx、 Fy 、 Fz 分别为 F 在x、y、z轴上
的投影 ；ax 、 ay 、 az分别为质点的加 速度在x、y、z轴上的投影 。
mat
=
m
d 2s dt 2
(i)
F+ i
(e)
F i
式中，F
(i i
)
——质点系内各质点之间的相互作用力。
即内力，
(i)
F
=
0
i
F
( i
e)——作用于第i个质点上的外力。
设P = mi vi ，则
d P =
(e)
F
=
F (e) ——质点系的动量定理
dt
i
投影形式
dpx dt
=
F (e) x
dpy dt
=
F (e) y
若 F (e) = 0质点系动量守恒。
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例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
xc =
mi xi
=
Ft
man
=
v2 m
r
=
Fn
Fτ、Fn分别 F为在切向和法向的投影
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应用质点运动微分方程可以解决质点动力学两类 基本问题：①已知质点的运动，求作用在质点上的力； ②已知作用于质点上的力，求质点的运动。
例1 桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平
横离梁为作l。匀突速然运刹动车，，速重度物为因惯v0性，绕重悬物挂中点心O向至前悬摆挂动点，距
k
得v
=
dx dt
=
v0e-kt
第二节 动量定理
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一、质点的动量定理
1. 质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。 动量是矢量，方向与v相同。单位为kg·m/s。
2. 质点的动量定理：
由动力学基本方程 ma = F ，得
d (mv) = F dt 质点的动量对时间的导数等于作用于质点上的力。 即为质点的动量定理。
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
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第十六章 动力学基本方程、 动量定理、动量矩定理
第一节 动力学基本方程 第二节 动量定理 第三节 质心运动定理 第四节 动量矩定理 第五节 刚体定轴转动微分方程
第一节 动力学基本方程
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将动力学基本方程（ ma = F ）表示为微分形式的方程，
dt dt
质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用在质 点系上的外力的矢量和，称为质点系的质心运动定理。
投影形式
M
d 2 xc dt 2
= Fx(e )
M
d 2 yc dt 2
=
F
(e
y
)
若 Fx(e) = 0, 则 acx = 0, vcx =常量，质心沿x方向速度不变；
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。