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初中数学图形的相似难题汇编附答案

初中数学图形的相似难题汇编附答案一、选择题1.两个相似多边形的面积比是9∶16,其中小多边形的周长为36 cm,则较大多边形的周长为 )A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm【答案】A【解析】试题分析:根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比,而面积之比等于相似比的平方计算即可.解:两个相似多边形的面积比是9:16,面积比是周长比的平方,则大多边形与小多边形的相似比是4:3.相似多边形周长的比等于相似比,因而设大多边形的周长为x,则有=,解得:x=48.大多边形的周长为48cm.故选A.考点:相似多边形的性质.2.如果两个相似正五边形的边长比为1:10,则它们的面积比为()A.1:2 B.1:5 C.1:100 D.1:10【答案】C【解析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方,由两个相似正五边形的相似比是1:10,可知它们的面积为1:100.故选:C.点睛:此题主要考查了相似三角形的性质:相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=8,CD是AB边上的中线,作CD的中垂线与CD交于点E,与BC交于点F.若CF=x,tanA=y,则x与y之间满足()A .2244x y +=B .2244x y -=C .2288x y -=D .2288x y+= 【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出CD =12AB =AD =4,由等腰三角形的性质得出∠A =∠ACD ,得出tan ∠ACD =GE CE=tan A =y ,证明△CEG ∽△FEC ,得出GE CE CE FE =,得出y =2FE ,求出y 2=24FE ,得出24y=FE 2,再由勾股定理得出FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4,即可得出答案.【详解】解:如图所示:∵在△ABC 中,∠C =90°,AB =8,CD 是AB 边上的中线,∴CD =12AB =AD =4, ∴∠A =∠ACD ,∵EF 垂直平分CD , ∴CE =12CD =2,∠CEF =∠CEG =90°, ∴tan ∠ACD =GE CE =tanA =y , ∵∠ACD+∠FCE =∠CFE+∠FCE =90°,∴∠ACD =∠FCE ,∴△CEG ∽△FEC , ∴GE CE =CE FE, ∴y =2FE, ∴y 2=24FE , ∴24y=FE 2, ∵FE 2=CF 2﹣CE 2=x 2﹣4, ∴24y=x 2﹣4, ∴24y+4=x 2,故选:A.【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握直角三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键.4.如图,正方形OABC的边长为6,D为AB中点,OB交CD于点Q,Q是y=kx上一点,k的值是()A.4 B.8 C.16 D.24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=,再过点Q作垂线,利用相似三角形的性质求出QF、OF,进而确定点Q的坐标,确定k的值.【详解】解:过点Q作QF OA⊥,垂足为F,OABCQ是正方形,6OA AB BC OC∴====,90ABC OAB DAE∠=∠=︒=∠,DQ是AB的中点,12BD AB ∴=, //BD OC Q , OCQ BDQ ∴∆∆∽,∴12BQ BD OQ OC ==, 又//QF AB Q ,OFQ OAB ∴∆∆∽,∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+, 6AB =Q , 2643QF ∴=⨯=,2643OF =⨯=, (4,4)Q ∴,Q 点Q 在反比例函数的图象上,4416k ∴=⨯=,故选:C .【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定,利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键.5.如图,在△ABC 中,A ,B 两个顶点在x 轴的上方,点C 的坐标是(﹣1,0).以点C 为位似中心,在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A 'B 'C ,使得△A 'B 'C 的边长是△ABC 的边长的2倍.设点B 的横坐标是﹣3,则点B '的横坐标是( )A .2B .3C .4D .5【答案】B【解析】【分析】 作BD ⊥x 轴于D ,B′E ⊥x 轴于E ,根据位似图形的性质得到B′C =2BC ,再利用相似三角形的判定和性质计算即可.【详解】解:作BD ⊥x 轴于D ,B′E ⊥x 轴于E ,则BD∥B′E,由题意得CD=2,B′C=2BC,∵BD∥B′E,∴△BDC∽△B′EC,∴1'2 CD BCCE B C==,∴CE=4,则OE=CE−OC=3,∴点B'的横坐标是3,故选:B.【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质,掌握位似变换的概念是解题的关键.6.如图,正方形ABCD中,E、F分别为AB、BC的中点,AF与DE相交于点O,则AO DO=().A.13B25C.23D.12【答案】D【解析】【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF,从而进一步得△AOD∽△EAD.运用相似三角形的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AE=BF,AD=AB,∠EAD=∠B=90︒∴△ADE≌△BAF∴∠ADE=∠BAF,∠AED=∠BFA∵∠DAO+∠FAB=90︒,∠FAB+∠BFA=90︒,∴∠DAO=∠BFA ,∴∠DAO=∠AED∴△AOD ∽△EAD ∴12AO AE DO AD == 故选:D 【点睛】 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.7.如图,在矩形ABCD 中,1AB =,在BC 上取一点E ,沿AE 将ABE ∆向上折叠,使B 点落在AD 上的F 点,若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,则AD 的长为( )A .2B 3C 15±D 15+ 【答案】D【解析】【分析】 可设AD=x ,由四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,求解即可.【详解】解:∵1AB =, 设AD=x ,则FD=x-1,FE=1,∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似, ∴EF AD DF AB=,即111x x =-, 解得:1152x +=,2152x -=(不合题意,舍去) 经检验15x +=,是原方程的解. ∴15AD +=. 故选:D .【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题),相似多边形的性质,本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式.8.如图,O是平行四边形ABCD的对角线交点,E为AB中点,DE交AC于点F,若平行四边形ABCD的面积为8,则DOE的面积是()A.2B.32C.1D.94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积,找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系,利用面积公式以及线段间的关系求解.分别作△OED和△AOD的高,利用平行线的性质,得出高的关系,进而求解.【详解】解:如图,过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD,垂足分别为M、N,则EM∥AN,∴EM:AN=BE:AB,∵E为AB中点,∴BE=12 AB,∴EM=12 AN,∵平行四边形ABCD的面积为8,∴2×12×AN×BD=8,∴AN×BD=8∴S△OED=12×OD×EM=12×12BD×12AN=18AN×BD=1.故选:C.【点睛】本题考查平行四边形的性质,综合了平行线分线段成比例以及面积公式.已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法:①面积比是边长比的平方比;②分别找到底和高的比.9.若△ABC ∽△DEF ,△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3,则S △ABC ︰S △DEF 为( )A .2∶3B .4∶9C .2∶3 D .3∶2 【答案】B【解析】【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方,所以224()39ABC DEF S S ==V V . 【详解】因为△ABC ∽△DEF ,所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方,所以S △ABC :S △DEF =(23)2=49,故选B . 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,解题的关键是掌握:两个相似三角形面积比等于相似比的平方.10.如图,点E 为ABC ∆的内心,过点E 作MN BC P 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若7AB =,5AC =,6BC =,则MN 的长为( )A .3.5B .4C .5D .5.5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM=ME ,同理可得NC=NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以767MN BM -=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可.【详解】连接EB 、EC ,如图,∵点E 为△ABC 的内心,∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB ,∴∠1=∠2,∵MN∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BM=ME,同理可得NC=NE,∵MN∥BC,∴△AMN∽△ABC,∴MN AMBC AB=,即767MN BM-=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-56MN②,①+②得MN=12-2MN,∴MN=4.故选:B.【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.11.平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)经过某种变换后得到的对应点为P′(12a+1,12b﹣1).已知A,B,C是不共线的三个点,它们经过这种变换后,得到的对应点分别为A′,B′,C′.若△ABC的面积为S1,△A′B′C′的面积为S2,则用等式表示S1与S2的关系为()A.S112=S2B.S114=S2C.S1=2S2D.S1=4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型,再依据其性质可得答案.【详解】由点P(a,b)经过变换后得到的对应点为P′(12a+1,12b﹣1)知,此变换是以点(2,﹣2)为中心、2:1的位似变换,则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4:1,∴S1=4S2,故选:D.【点睛】本题主要考查几何变换类型,解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型.12.如图,将图形用放大镜放大,应该属于( ).A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点,结合各变换的特点即可得出答案.【详解】解:根据相似图形的定义知,用放大镜将图形放大,属于图形的形状相同,大小不相同,所以属于相似变换.故选:B.【点睛】本题考查的是相似形的识别,关键要联系图形,根据相似图形的定义得出.13.如图,点E是矩形ABCD的边AD的中点,且BE⊥AC于点F,则下列结论中错误的是()A.AF=12 CFB.∠DCF=∠DFCC.图中与△AEF相似的三角形共有5个D.tan∠CAD3【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC ,又AD ∥BC ,所以12AE AF BC FC ==,故A 正确,不符合题意; 过D 作DM ∥BE 交AC 于N ,得到四边形BMDE 是平行四边形,求出BM=DE=12BC ,得到CN=NF ,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故B 正确,不符合题意;根据相似三角形的判定即可求解,故C 正确,不符合题意;由△BAE ∽△ADC ,得到CD 与AD 的大小关系,根据正切函数可求tan ∠CAD 的值,故D 错误,符合题意.【详解】解:A 、∵AD ∥BC ,∴△AEF ∽△CBF , ∴AE BC =AF FC, ∵AE =12AD =12BC , ∴AF FC =12,故A 正确,不符合题意; B 、过D 作DM ∥BE 交AC 于N ,∵DE ∥BM ,BE ∥DM ,∴四边形BMDE 是平行四边形,∴BM =DE =12BC , ∴BM =CM ,∴CN =NF ,∵BE ⊥AC 于点F ,DM ∥BE ,∴DN ⊥CF ,∴DF =DC ,∴∠DCF =∠DFC ,故B 正确,不符合题意;C 、图中与△AEF 相似的三角形有△ACD ,△BAF ,△CBF ,△CAB ,△ABE 共有5个,故C 正确,不符合题意.D 、设AD =a ,AB =b 由△BAE ∽△ADC ,有b a =2a .∵tan ∠CAD =CD AD =b a =2,故D 错误,符合题意. 故选:D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,图形面积的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.14.(2016山西省)宽与长的比是51-(约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD ,分别取AD 、BC 的中点E 、F ,连接EF :以点F 为圆心,以FD 为半径画弧,交BC 的延长线于点G ;作GH ⊥AD ,交AD 的延长线于点H ,则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A .矩形ABFEB .矩形EFCDC .矩形EFGHD .矩形DCGH【答案】D【解析】【分析】 先根据正方形的性质以及勾股定理,求得DF 的长,再根据DF=GF 求得CG 的长,最后根据CG 与CD 的比值为黄金比,判断矩形DCGH 为黄金矩形.【详解】 解:设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1在直角三角形DCF 中,22125DF +=5FG ∴=51CG ∴=512CG CD ∴= ∴矩形DCGH 为黄金矩形故选:D .【点睛】本题主要考查了黄金分割,解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意,宽与长的比是512的矩形叫做黄金矩形,图中的矩形ABGH也为黄金矩形.15.如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1,当点C1、B1、C三点共线时,旋转角为α,连接BB1,交AC于点D.下列结论:①△AC1C 为等腰三角形;②△AB1D∽△BCD;③α=75°;④CA=CB1,其中正确的是()A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1,得到△ABC≌△AB1C1,根据全等三角形的性质得到AC1=AC,于是得到△AC1C为等腰三角形;故①正确;根据等腰三角形的性质得到∠C1=∠ACC1=30°,由三角形的内角和得到∠C1AC=120°,得到∠B1AB=120°,根据等腰三角形的性质得到∠AB1B=30°=∠ACB,于是得到△AB1D∽△BCD;故②正确;由旋转角α=120°,故③错误;根据旋转的性质得到∠C1AB1=∠BAC=45°,推出∠B1AC=∠AB1C,于是得到CA=CB1;故④正确.【详解】解:∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1,∴△ABC≌△AB1C1,∴AC1=AC,∴△AC1C为等腰三角形;故①正确;∴AC1=AC,∴∠C1=∠ACC1=30°,∴∠C1AC=120°,∴∠B1AB=120°,∵AB1=AB,∴∠AB1B=30°=∠ACB,∵∠ADB1=∠BDC,∴△AB1D∽△BCD;故②正确;∵旋转角为α,∴α=120°,故③错误;∵∠C1AB1=∠BAC=45°,∴∠B1AC=75°,∵∠AB1C1=∠BAC=105°,∴∠AB 1C =75°,∴∠B 1AC =∠AB 1C ,∴CA =CB 1;故④正确.故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,旋转的性质,正确的识别图形是解题的关键.16.如图,网格中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是( )A .点AB .点BC .点CD .点D【答案】D【解析】【分析】 利用对应点的连线都经过同一点进行判断.【详解】如图,位似中心为点D .故选D .【点睛】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.注意:两个图形必须是相似形;对应点的连线都经过同一点;对应边平行.17.如图,顶角为36o 的等腰三角形,其底边与腰之比等k ,这样的三角形称为黄金三角形,已知腰AB=1,ABC ∆为第一个黄金三角形,BCD ∆为第二个黄金三角形,CDE ∆为第三个黄金三角形以此类推,第2020个黄金三角形的周长()A .2018kB .2019kC .20182k k + D .2019(2)k k +【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等,对应边成比例,求出前几个三角形的周长,进而找出规律:第n 个黄金三角形的周长为k n-1(2+k ),从而得出答案.【详解】解:∵AB=AC=1,∴△ABC 的周长为2+k ;△BCD 的周长为k+k+k 2=k (2+k );△CDE 的周长为k 2+k 2+k 3=k 2(2+k );依此类推,第2020个黄金三角形的周长为k 2019(2+k ).故选:D .【点睛】此题考查黄金分割,相似三角形的性质,找出各个三角形周长之间的关系,得出规律是解题的关键.18.如图,已知一组平行线////a b c ,被直线m 、n 所截,交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ,且 1.5AB =,2BC =, 1.8DE =,则EF =( )A .4.4B .4C .3.4D .2.4【答案】D【解析】【分析】 根据平行线等分线段定理列出比例式,然后代入求解即可.【详解】解:∵////a b c∴AB DEBC EF=即1.5 1.82EF=解得:EF=2.4故答案为D.【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理,利用定理正确列出比例式是解答本题的关键.19.如图,点D是△ABC的边AB上的一点,过点D作BC的平行线交AC于点E,连接BE,过点D作BE的平行线交AC于点F,则下列结论错误的是()A.AD AEBD EC=B.AF DFAE BE=C.AE AFEC FE=D.DE AFBC FE=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】∵DE//BC,∴AD AEBD EC=,故A正确;∵DF//BE,∴△ADF∽△ABF, ∴AF DFAE BE=,故B正确;∵DF//BE,∴AD AFBD FE=,∵AD AEBD EC=,∴AE AFEC FE=,故C正确;∵DE//BC,∴△ADE∽△ABC,∴DE ADBC AB=,∵DF//BE,∴AF ADAE AB=,∴DE AFBC AE=,故D错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质,相似三角形的性质,由平行线得出比例关系是关键.20.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点P以每秒1cm的速度从点A出发,沿折线AC -CB运动,到点B停止.过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD的长y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图2所示.当点P运动5秒时,PD的长是()A .1.5cmB .1.2cmC .1.8cmD .2cm【答案】B【解析】【分析】【详解】 由图2知,点P 在AC 、CB 上的运动时间时间分别是3秒和4秒,∵点P 的运动速度是每秒1cm ,∴AC=3,BC=4.∵在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∴根据勾股定理得:AB=5.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H ,则易得△ABC ∽△ACH . ∴CH AC BC AB =,即AC BC 3412CH CH AB 55⋅⨯=⇒==. ∴如图,点E (3,125),F (7,0). 设直线EF 的解析式为y kx b =+,则 123k b {507k b=+=+, 解得:3k 5{21b 5=-=. ∴直线EF 的解析式为321y x 55=-+. ∴当x 5=时,()3216PD y 5 1.2cm 555==-⨯+==.故选B.。

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