授课题目46重因式
重因式
授课题目:重因式
教学目标:理解多项式的重因式及导式的概念,掌握多项式有无重因式的判别方法授课时数:2学时
教学重点:多项式有无重因式判别及分离重因式的方法
教学难点:因式重数判别定理及无重因式的充分必要条件定理的证明(定理及定理的证明)
教学过程:
在典型分解式中,有的1>i k ,这时)(x p i 称位重因式,重因式的判定在因式分解理论的研究中,占有重要的地位。
一、重因式 1、定义
定义1。
设)(],[)(),(x p x F x p x f ∈是不可约多项式,如果 ),(|)(x f x p k 而)(1x p k +不能整除()f x ,则称()()p x f x k 是的重因式.
1k =当时,()()p x f x 称为的单因式,2,k ≥当时()()p x f x 称为的重因式,
()k p x 称为的重数.
2、问题
如何判断多项式有无重因式
有的说根据典型分解式,再用带余除法即可。
但典型分解式不易求得,该怎么办
二、重因式的判定 1、多项式的导数
定义2 设][)(011
1x F a x a x
a x a x f n n n n ∈++++=-- F 上的多项式122
11'2)1()(a x a x a n x
na x f n n n n +++-+=---称为f(x)的导数。
由定义知:
1)次多项式的导数是n-1次多项式; 2)项式与零次多项式的导数为零多项式;
3)多项式的n 阶导数为零次多项式,n+1阶导数为零多项式。
例1、求多项式325)(23-+-=x x x x f 的各阶导数 2、预备定理
定理 ()()
(1)p x f x k k ≥设是的重因式,()()1p x f x k '-则是的重因式.
证由已知,存在()[],q x F x ∈使得
()()(),()|().
k
f x p x q x p x q x =
所以
1()()()()(
)()k k
f x kp x p x q x p x q x -'''=+ 1
()[()()()()].k p
x kp x q x p x q x -''==
()|(),()|(),()()|()().
p x kp x p x q x c p x kp x q x ''因为所以由不可约多项式性质得但
()|()(),()|[()()()()].p x p x q x p x kp x q x p x q x '''+因此
()()1p x f x k '-故是的重因式.
注意,定理的逆不成立,如98)(5+=x x f ,4
()5x f x x '=是的4重因式,但不
是()f x 的因式。
3、主要定理
定理多项式()f x 没有重因式的充要条件是'
((),()) x f x =
证 ()f x 没有重因式,因而(2)式中121,t k k k ==== 因此,(3)式中
k k k -=-==-= 于是'
((),()) x f x =
若'((),())1,f x f x =则121110,t k k k -=-==-= 因而121,t k k k ==== 这样()f x 没有重因式。
(证毕)
4、判定有无重因式的方法,具体步骤如下: (1)由()f x 求)('x f
(2)求出)())(),(('x d x f x f =;
(3)若()1d x =, 则()f x 无重因式。
若,1)(≠x d 则()d x 的每个不可约因式都是()f x 的重因式。
具体的说,()p x 是()d x 的k 重因式,则()p x 是()f x 的k+1重因式。
例2.判断432()5972f x x x x x =-+-+有无重因式。
解 32()() x f x x x x '=-+-的导式为进一步求得
2
((),())(1)1,f x f x x '=-≠
所以()f x 有重因式,并且1()x f x -是的三重因式.
三,分离重因式的方法 1、理论依据
推论 1 设,0))((],[)(>??∈x f x F x f 则多项式))
('),(()()(x f x f x f x g =与)(x f 有完全
相同的不可约因式,而)(x g 无重因式。
在介绍前举下面例子:
)
7)(3)(2()()7()3()2()(2
35-+-=-+-=x x x x g x x x x f
问:1))(x f 、)(x g 有何相同之处
2))()(x g x f 与有什么不同
3)在讨论因式分解时,对哪个多项式讨论较为容易 2、分离重因式的具体步骤3、分离重因式的意义
利用可将一个有重因式的多项式因式分解问题,归结为一个次数比它低的较简单多项式的因式分解问题
例3 设.1084555)(2345-+--=x x x x x f 在实数域上分离)(x f 的重因式,并求)(x f 的典型分解式.
解 432()() x f x x x x x '=--+的导式为: 进一步求得
2
((),())(3)(2)f x f x x x '=-+
于是
2
()6(3)(2)((),())
f x x x x x f x f x =--=-+'
故
3
2
()(3)(2).f x x x =-+
注:无须设2
1)
2()3()(k k x x x f +-=,由)2()3())(),((2 '+-=x x x f x f 即可求出
)(x f 的典型分解式.
作业:P150,2—6题
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