第三讲：因式分解一提公因式法【知识要点】1分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。
3.分解因式的一些注意点(1)结果应该是的形式；(2)必须分解到每个因式都不能为止;(3)如果结果有相同的因式，必须写成的形式。
4.公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的5.提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方示叫做提公因式法.6.确定公因式的方法(1)系数公因式：应取多项式中各项系数为(2)字母公因式：应取多项式中各项字母为《重点辨析》提取公因式时的注意点【学堂练习】1.下列各式从左边到右边的变形，哪些是分解因式，哪些不是？2 21x +x =x (1 +—);x2 2(m +n)(m -n) = m -n3x 2-2xy + x =x(3x -2y)(5) 2.把下列各式分解因式 (1) 9a2-6ab+3a【经典例题】例1、把下列各式分解因式(1) 2a(x -2y) -3b(x-2y)2a(x-2y)2 +b(2y-x)3 a 2-2b = (a + 5)(a-5) -1X 2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (x-3)(x + 1) -x 2-2x-3(2) -4x 4 y-6x 2y 3 + 2xy 4(2) 2a(x-2y)-3b(2y-x)-4c(x-2y)(4) 15b(3a-b)2+25(b-3a)3(x-y)2 -3(y-x)3+2(y-x)4(6) (a+x^+e+x)""1 —(a + x)m (b+x)n例2.利用分解因式计算(1) 29x1234.5 +11.7x1234.5-4.6x1234.5例 3.已知 a +b =2,ab =2，求代数式 a 2b +2a 2b 23例4、利用因式分解说明：367 -612能被140整除。
【随堂练习】1. 下列各式从左到右的变形中是因式分解的是(C 、X - y = (J x +7y)(J x - J y) + bx+c 分解因式2(x-3)(x +1)，则b,c 的值为(2 2B 、4ma+6maC 、 5a +10ab 4.将3a(x-y)-b(x-y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(A 、(a -1)(a +b) =a 2 +a -2 11 1=(x + -)(x ——) y y y A 、 b =3, C = —1B 、b =—6,C = 2 C 、b = -6,c=—4b = —4,c =—6 3.下列各式的公因式是 a 的是(O 9998(2) —~ 2_ 100_ 992 - 2+ ab 2的值。
m(m + 4)+4 = (m + 2)22.已知二次二项式2x 2A 、ax 中ay +5a 2-4a + maA、 3a —B、3(x-y)C、 x-yD、3a+b b5.把多项式m 2(a-2)+m(2-a)分解因式的结果为(A 、(a-2)(m2+m)B 、(a-2)(m2-m)C 、m(a-2)(m-1)D 、m(a-2)(m + 1)8 已知：a + b =133, ab =1000。
a 2b +ab 2 的值为 9.把下列各式分解因式(2) - 3a 2bc 2 +12a 3b 2c 2 + 9a 2bc 3【课后强化］1. 3x 2+mx-4分解因式为(3x+4)(x-1)，则m 的值为3. 把下列各式分解因式2(2) 3x(X - y) + 6x(y -x)2 2(1) 3x y —6xy +12xyz6.多项式2x 2y-xy 的公因式是;多项式是6a 2b 3 -9ab 2c 3的公因式是 27 .分解因式：xy - xy =。
a(m-n)3-b(n- m)^ (m-n)3()。
(1) 2a 2b-6a 2b 2 +2ab 2 (3) a(x-y)-b(x-y)2(4) 2(y-x) -x(x —y)2. -3xy -6mxy +9nxy = -3xy () a(x-a)+ b(a - X)-c(x - a)=(4) a(a +b)(a -b) -a(a + b)2⑶ 2(x-y)3+4(y-x)23、把下列各式分解因式:第四讲：因式分解一公式法、分组分解法【知识要点】1.乘法公式逆变形(1)平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)(2 )完全平方公式：a 2+ 2ab + b 2=(a +b)2,a 2-2ab + b 2=(a-b)22.常见的两个二项式幕的变号规律:①(a-b)2n=(b-a)2n ；②(a-bf =-(b-a)2n ，(n 为正整数)3.把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行:(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式;(2)如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解; (3)如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。
【学堂练习】21、如果9x +kx +25是一个完全平方式，那么k 的值是(A 15B ±152、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是(C 30)±30-m 2+4B 、2 2-X -y 2 2.C 、 x y -12 2D 、(m — a ) -(m + a )(1)4a 2 —b 2 16—9a 2(3)"22 ,16x y -1(4)—12m +36-x 2 +2xy- y 2x 22-y +ax+ay4(8) 4x 4 -a 2-6a-9【经典例题】例1.用公式法分解因式:⑸ 16(x-1)3 -25(x +2)2(x 2 -X)2 +6(x 2 - X)+9例2.用分组分解法分解因式3(1) (a2 *+b 2)2 -4a 2b 2(2)(x+2)2-(y-3)22 2(3) a b -4ab +4(4)X 4 -8x 2 +16(1) 4ax -4ay - X + y(2)a 2 -9+ 8ab +16b 2(3) a2-b 2-4a +4b例3 .用合适的方法分解因式:2 2 2 2(2) 12m n -12m n +3m(4) 4m2+9(m + n)2 +12m(m + n)例4 •利用分解因式计算：2 2(1) 1.222 X 9 -1.332X 42 2(2) 2022 +202X196+982=-2,求 a3+a 2b + ab 2 +b 3 值。
【随堂练习】+ X 2-1有如下四种分组方法：其中分组合理的是（①(X5-x 3)+(x 2-1)②(X 5+x 2)-(x 3+1)③(X5-x 3+x 2)-1④ X 5-(x3-x 2+ 1)A .①②B .①③C .②④42 22 242.^ABC 的三边满足 a +b c -a c -b = 0,则^ ABC 的形状是 _______ ^a 2 +ab + ^b 2。
2 2/、厂2 4 _ 2. 4 (1) 5m a -5m b (3) 4a2(m — n) + b 2(n —m)例 5.若 a + b = 3, ab 1.对于多项式x 5-x3D .③④3.已知a + b = 2，利用分解因式，求代数式4、分解下列因式:2 5、计算：(1) 2003 -2002X2004【课后强化】(1) 8x2—2 2 2(2) 16a -9b3 2 (3) a b + ab -2a b(1)—3x3—12x2+ 36x(2) (x2+1)2 -4x22m +2n -mn -2m (4) a2+ 2ab + b2—a—b分解因式第五讲：因式分解综合复习【考点分析】考点1:分解因式的意义1、下列从左到右的变形，属于分解因式的是( )2A. (x+3)(x — 2)=x +x — 6B. ax— ay+1=a(x— y)+1c 2 1 , 1 \, 1 \C. x — p=(x+ —)(x —-) y y y2、若多项式x4+ax+b可分解为(x+1)(x — 2),试求a、b的值。
考点2:提公因式法分解因式1.多项式6a5b2— 3a2b2— 21a2b3分解因式时，应提取的公因式是(2 23 2A. 3a2 bB. 3ab2C. 3a3b23.下列各组代数式没有公因式的是(A. 5a— 5b 和 b — aC. (a— b)2和— a + b4、分解下列因式/ 八 c 2n+2 n+2 n+1 2n+3 (1)— 8x y + 12x yax+1 和 1+ay a2— b2和(a + b)(a + 1)2(2) x y(x — y) + 2xy(y — x)4 把多项式2(x — 2)2— (2 — x)3分解因式的结果是(5 16 (x — y) 2— 24xy (y—x) )D. 3a2b22A. (x — 2)2(42B. x (x —2C. — x (xD. (x — 2)2(2 — x)2D. 3xB.(4) - 27x2(3x-y)2-9y(y-3x)考点3:运用公式法分解因式21 .如果9 x +kx+25是一个完全平方式，那么k 的值是（）2. (1)( 2009 年北京)分解因式：-a 2+14ab +49b 2=3（ 2005年上海市）分解因式：m 4-16n 43、分解下列因式:（1） 1 m 2 —3n 23考点4:分组分解法分解因式 ⑴ 4x 2-2x-y 2-y(3) (1-a 2)(1-b 2)-4ab(4) a 2 -4a + 4 - c 2A 、 15C 、 30D 3±2 2(2) a b -14ab + 49(3) 9(a-bf -16(a+b 2(4) 9(a-bf+24a-b)+162 24m -9n -4m + 1考点5:综合运用提公因式法、公式法分解因式1、(1) (2009年北京)分解因式：4m3-m=(2) (2008年上海)分解因式：8x2y-8xy+2y=2、分解下列因式:(1)8a— 2a 2 2(2) 9x (m - n )—y (n -m)(3) (a-b)2-4m2(b-a)2(4) a2(16x-y+1) + b2(y—1-16X)考点6:分解因式的应用1、利用因式分解方法计算:(1)4.45X13.7 +445x0.889 -44.5x0.26 2 2⑵ 800 -1600X798 + 7982 22、已知b-a =6, ab =7，求a b-ab 的值。
2 23、厶ABC的三边满足a-2bc=c-2ab,则^ ABC是(A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形)D、锐角三角形4、若a为整数，证明(2a +1)2 -1能被8整除。