实验报告实验二 信号、系统及系统响应，离散系统的时域分析一、实验目的（1） 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变换关系，加深对时域采样定理的理解；（2） 熟悉时域离散系统的时域特性； （3） 利用卷积方法观察分析系统的时域特性；（4） 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。

（5） 熟悉并掌握离散系统的差分方程表示法； （6） 加深对冲激响应和卷积分析方法的理解。

二、实验原理与方法1、信号、系统及系统响应采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。

对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性发生的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。

我们知道，对一个连续信号xa(t)进行理想采样的过程可用(2-1)表示。

^()()()(21)a a x t x t p t =-其中^()a x t 为()a x t 的理想采样，()p t 为周期冲激脉冲，即()()(22)n p t t nT δ∞=-∞=--∑^()a x t 的傅里叶变换^()a X j Ω为^1()[()](23)a a s m X j X j m T ∞=-∞Ω=Ω-Ω-∑（2-3）式表明^()a X j Ω为()a X j Ω的周期延拓，其延拓周期为采样角频率(2/)s T πΩ=。

其采样前后信号的频谱只有满足采样定理时，才不会发生频率混叠失真。

将（2-2）带入（2-1）式并进行傅里叶变换：^()[()()]j t a a n X j x t t nT e dtδ∞∞-Ω-∞=-∞Ω=-∑⎰[()()]j t a n x t t nT e dtδ∞∞-Ω-∞=-∞=-∑⎰()(24)j nTan x nT e∞-Ω=-∞=-∑式中()a x nT 就是采样后得到的序列()x n ，即()()a x n x nT =()x n 的傅里叶变换()j X e ω为()()(25)j j nn X e x n eωω∞-=-∞=-∑比较(2-5)和(2-4)可知在数字计算机上观察分析各种序列的频域特性， 通常对X(ej ω)在［0, 2π］上进行M 点采样来观察分析。

对长度为N 的有限长序列x(n), 有一个时域离散线性非移变系统的输入/输出关系为上述卷积运算也可以在频域实现2、离散系统时域分析^()()(26)j a TX j X e ωω=ΩΩ=-1()()(27)2,0,1,,1k N j nj kn k X ex m e k k M Mωωπω--==-==⋅⋅⋅-∑()()()()()(28)m y n x n h n x m h n m ∞=-∞=*=--∑()()()(29)j j j Y e X e H e ωωω=-式中离散系统][n x ][n y Discrete-timesystme其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑∑==-=-Mk k Nk kk n x p k n y d][][输入信号分解为冲激信号，∑∞-∞=-=m m n m x n x ][][][δ。

记系统单位冲激响应][][n h n →δ，则系统响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][当N k d k ,...2,1,0==时，h[n]是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。

三、实验内容及步骤（1） 认真复习采样理论、 离散信号与系统、 线性卷积、 序列的傅里叶变换及性质等有关内容， 阅读本实验原理与方法。

（2） 编制实验用主程序及相应子程序。

① 信号产生子程序， 用于产生实验中要用到的下列信号序列： a.采样信号序列：对下面连续信号：x a (t)=Ae -at sin(Ω0t)u(t)进行采样， 可得到采样序列xa(n)=xa(nT)=Ae-anT sin(Ω0nT)u(n), 0≤n<50 其中A 为幅度因子， a 为衰减因子， Ω0是模拟角频率， T 为采样间隔。

这些参数都要在实验过程中由键盘输入， 产生不同的xa(t)和xa(n)。

b. 单位脉冲序列： xb(n)=δ(n)c. 矩形序列： xc(n)=RN(n), N=10②系统单位脉冲响应序列产生子程序。

本实验要用到两种FIR系统。

a. ha (n)=R10(n);b. hb(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)③有限长序列线性卷积子程序，用于完成两个给定长度的序列的卷积。

可以直接调用MATLAB语言中的卷积函数conv。

conv用于两个有限长度序列的卷积，它假定两个序列都从n=0 开始。

调用格式如下：y=conv (x, h)程序如下：figuresubplot(121);Tp = 50/1000;Fs = 1000;%频率T = 1 / Fs;%周期M = Tp * Fs;%采样点n = 0:Tp * Fs;dt = 0.00005;t = -0.005:dt:0.005;A = 444.128;a = 50*2^0.5*pi;omiga = 50*2^0.5*pi;xat = A*exp(-a*t).*sin(omiga*t);%连续信号xnt = A*exp(-a*n*T).*sin(omiga*n*T);%50个采样点stem(n,xnt,'.');box on;title('1kHz时域抽样曲线');%Fs=1000Hz的时域抽样曲线Xk=T * fft(xnt,M);k = 0 : M-1;fk = k / Tp;subplot(122);plot(fk,abs(Xk));title('1kHz时幅频特性曲线');%幅频特性曲线xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]);%取采样频率fs=300 HzFigure;subplot(121);Fs=300;T=1/Fs;M=ceil(Tp*Fs);n=0:M-1;%取整xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(omiga*n*T); %xnt=xa（nt）stem(n,xnt,'k.');box on;title('300Hz时域抽样曲线'); %Fs=300Hz的时域抽样Xk=T*fft(xnt,M); %M点FFT[xnt)] k=0 : M-1;fk = k / Tp;subplot(122);plot(fk,abs(Xk));title('300Hz时幅频特性曲线'); %xa（t）的幅频特性曲线xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); %设置坐标比例%取采样频率fs=200 HzFigure;subplot(121);Fs=200;T=1/Fs;M=ceil(Tp*Fs);n=0:M-1;%取整xnt=A*exp(-a*n*T).*sin(omiga*n*T); %xnt=xa（nt）stem(n,xnt,'k.');box on;title('200Hz时域抽样曲线'); %Fs=200Hz的时域抽样Xk=T*fft(xnt,M); %M点FFT[xnt)] k=0 : M-1;fk = k / Tp;subplot(122);plot(fk,abs(Xk));title('200Hz时幅频特性曲线'); %xa（t）的幅频特性曲线xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))]); %设置坐标比例%绘制hb(n)函数%hb(n)的时域序列hb=[1,2.5,2.5,1];i=0:3;figure;subplot(121);stem(i,hb,'k.');axis([0 3 0 2.5]);xlabel('n');ylabel('hb(n)');title('hb(n)的时域序列');%hb(n)的傅氏变换|Hb(jw)|采样点为4N=4;k=-200:200;w=k*pi/100;Hb=DFT(hb,N);subplot(122);plot(w/pi,abs(Hb));xlabel('w/pi');ylabel('|Hb(jw)|');title('hb(n)的傅氏变换|Hb(jw)|');%通过单位冲击信号xb(n)的时域序列xb=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0];i=0:9;figure;subplot(121);stem(i,xb,'k.');xlabel('n');ylabel('xb(n)');title('xb(n)的时域序列');%xb(n)的傅氏变换(Xb|jw|)采样点为10N=10;k=-200:200;w=k*pi/100;Xb=DFT(xb,N);magXb=abs(Xb);subplot(122);plot(w/pi,magXb); xlabel('w/pi');ylabel('|Xb(jw)|');title('xb(n)的傅氏变换(Xb|jw|)');%卷积yb(n)=xb(n)*hb(n)的时域序列yb=conv(xb,hb);figure;subplot(121);stem(0:12,yb,'k.');xlabel('n');ylabel('yb(n)=xb(n)*hb(n)');title('yb(n)=xb(n)*hb(n)的时域序列');%卷积yb(n)的傅氏变换(Yb|jw|)N=13;k=-200:200;w=k*pi/100;Yb=DFT(yb,N);subplot(122);plot(w/pi,abs(Yb));xlabel('w/pi');ylabel('|Yb(jw)|');title('yb(n)的傅氏变换|Yb(jw)|');%绘制ha(n)函数%ya(n)=xc(n)*ha(n)的时域序列ha=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];xc=ha;ya=conv(ha,xc);figure;subplot(121);stem(0:18,ya,'k.'); xlabel('n');ylabel('ya(n)=xc(n)*ha(n)');title('ya(n)=xc(n)*ha(n)的时域序列');%ya(n)的傅氏变换(Ya|jw|)N=19;k=-200:200;w=k*pi/100;Ya=DFT(ya,N);subplot(122);plot(w/pi,abs(Ya));xlabel('w/pi');ylabel('|Ya(jw)|');title('ya(n)的傅氏变换|Ya(jw)|');%ya(n)=xc(n)*ha(n)的时域序列ha=[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1];xc=[1,1,1,1,1];ya=conv(ha,xc);figure;subplot(121);stem(0:13,ya,'k.');xlabel('n');ylabel('ya(n)=xc(n)*ha(n)');title('ya(n)=xc(n)*ha(n)的时域序列');%ya(n)的傅氏变换(Ya|jw|)，采样点变N=14;k=-200:200;w=k*pi/100;Ya=DFT(ya,N);subplot(122);plot(w/pi,abs(Ya));xlabel('w/pi');ylabel('|Ya(jw)|');（3） 调通并运行实验程序， 完成下述实验内容：① 分析采样序列的特性。