多种插值法比较与应用（一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式∏≠=--=nkj j j k jk x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ=称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ=的n 次多项式∏∏∏=≠==--==nk nkj j jk j k k nk k n x x x x x f x l x f x L 000))(()()()(为Lagrange 插值多项式，称∏=+-+=-=nj j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商ij i j j i x x x f x f x x f --=][][],[依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商ik i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=+-+++++],,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ2． Newton 插值多项式设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ=的n 次多项式)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ为Newton 插值多项式，称],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E nj j n n ∈-=-=∏=ΛΛ为插值余项。

（三）Hermite 插值设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为)()()(0'12x f x f x H j nj j j nji n βα∏∏=++=其中)())((,)]()(21[)(22'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若],[22b a C f n +∈，插值误差为220)22(12)()()!22()()()(n x n n x x x x n fx H x f --+=-++Λξ，),()(b a x x ∈=ξξ（四）分段插值设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<=Λ10和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ϕ，具有性质①i i y x =)(ϕ （n i ,,2,1,0ΛΛ=）。

②)(x ϕ在每个小区间内],[1+i i x x （n i ,,2,1,0ΛΛ=）上是线性函数。

（五）样条插值设在区间],[b a 上取n+1个节点b x x x a n =<<<=Λ10 给定这些点的函数值)(i i x f y =。

若函数)(x s 满足条件： ①i i y x s =)(，n i ,,2,1,0ΛΛ=；②在每个区间],[1+i i x x （n i ,,2,1,0ΛΛ=）上是3次多项式； ③],[)(2b a C x s i ∈； ④取下列边界条件之一：（ⅰ）第一边界条件：)()(0'0'x f x s =，)()(''n n x f x s =，（ⅱ）第二边界条件：)()(0''0''x f x s =，)()(''''n n x f x s =或0)()(''0''==n x s x s（ⅲ）周期边界条件：)()(0n k k x s x s =，2,1=k称)(x s 为3次样条插值函数。

（六）有理插值设在区间],[b a 上给定n+m+1个互异节点0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x + 上的函数值)(i i x f y =，m n i +=,,2,1,0ΛΛ，构造一个有理插值mm m m nn n n m n mn b x b x b x b a x a x a x a x Q x p x R ++++++++==----11101110)()()(ΛΛ， 满足条件：)()(i i mn x f x R =，m n i +=,,2,1,0ΛΛ则称)(x R mn 为点集{0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x +}上的有理插值函数。

例1．设0x ，1x ，…，n x 为n+1个互异的插值节点，)(0x l ，)(1x l ，…，)(x l n 为Lagrange 插值基函数，证明∏=≡nj jx l1)(证 考虑1)(≡x f ，利用Lagrange 插值余项定理)())(()!1()()()(101n n n x x x x x x n f x L x f ---+=-+Λξ显然 1)()(≡=x f x L n 。

利用Lagrange 基函数插值公式，有k j nj k j j nj j n x x l x x l x f x L =⋅==∏∏==)()()()(0例2 给出下列表格：对于正弦积分⎰=xt d ttx S 0sin )(， 当45.0)(=x S 时，求x 的值。

解 利用反插值计算线性插值，取39616.00=t ，58813.01=t ，4.00=x ，6.01=x 。

39616.058813.039616.06.058813.039616.058813.04.0)(1--⋅+--⋅=t t t L ， 456092097.0)45.0(1=≈L x 。

2次插值，取19956.00=t ，39616.01=t ，58813.02=t ，2.00=x ，4.01=x ，6.02=x )58813.019956.0)(39616.019956.0()58813.0)(39616.0(2.0)(2----⋅=t t t L)58813.039616.0)(19956.039616.0()5813.0)(19956.0(4.0----⋅+t t)39616.058813.0)(19956.058813.0()39616.0)(19956.0(6.0----⋅+t t ，455622509.0)45.0(2=≈L x 。

故x 值约为0.456。

例3 取节点00=x ，11=x 对函数x e y -=建立线性插值。

解 先构造00=x ，11=x 两点的线性插值多项式。

因为（1）Lagrange 型插值多项式构造)1,0(和),1(1-e 的一次插值基函数)1()(1010--=--=x x x x x x l ，x x x x x x l =--=0101)( 这样就容易得到111001)1()()()(-+--=+=xe x x l y x l y x ϕ（2）Newton 型插值多项式 因为1],[110-=-e x x f ，所以)1(1],[)()()(110001-+=-+=-e x x x f x x x f x ϕ例4 根据函数x x f ln )(=的数据表运用Hermite 插值计算60.0ln 。

解 40.00=x ，50.01=x ，70.02=x ，80.03=x ，首先构造Hermite 插值基函数)(0x α，)(1x α，)(2x α，)(3x α，)(0x β，)(1x β，)(2x β，)(3x β。

然后利用Hermite 插值公式写出∑=+=30'7)]()()()([)(k k k k k x x f x x f x H βα直接计算得 5411)60.0(0=α，278)60.0(1=α，278)60.0(2=α，5411)60.0(3=α， 1801)40.0(0=β，452)60.0(1=β，452)60.0(2-=β，181)60.0(3-=β.510824.0)60.0(60.0ln 7-=≈H . 事实上510826.060.0ln -=，另外x x f ln )(=，88!7)(x x f -=. 例5 判断下面的函数是否是3次样条函数：⎩⎨⎧≤≤++<≤-++=101220112)(33x x x x x x x s 解 )(x s 在]1,1[-上连续，⎩⎨⎧≤≤+<≤-+=10260123)(22'x x x x x s )('x s 在]1,1[-上连续；⎩⎨⎧≤≤<≤-=1012016)(''x x x x x s )(''x s 在]1,1[-上连续，即]1,1[)(2-∈C x s 。

又)(x s 在每段上都是3项式，故)(x s 是3次样条函数。

总结：通过以上定义于例子的学习让我们更好的掌握了插值多项式的方法。

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