电磁场与电磁波（第四版）谢处方 课后答案第一章习题解答给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C和()⨯AB C ；（8）()⨯⨯AB C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z+-===+e e e A a ee e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e(4)y z -+=e e －11（4）由 cos AB θ=14-==⨯A B A B ，得 1cos AB θ-=(135.5=（5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502x y z-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 041502x y z-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502xyz---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123PP P ∆是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，311367x y z =-=---R r r e e e由此可见1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e 故123PP P ∆为一直角三角形。
（2）三角形的面积122312231117.1322S =⨯=⨯==R R R R求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。
解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ， 则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为11cos ()cos 32.31x P P xP P φ--''===eR R 11cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e RR给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。
解 A 与B 之间的夹角为 11cos ()cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为 313.53277B A -===-B AB 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求⨯A B 在x y z =-+C e e e 上的分量。
解 ⨯=A B 234641xyz-=--e e e 132210x y z -++e e e所以⨯A B 在C 上的分量为 ()⨯=C A B ()2514.433⨯=-=-A B C C 证明：如果A B =A C 和⨯=A B ⨯A C ，则=B C 解 由⨯=A B ⨯A C ，则有()()⨯⨯=⨯⨯A A B A A C ，即()()()()-=-A B A A A B A C A A A C由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设A 为一已知矢量，p =A X 而=⨯P A X ，p 和P 已知，试求X 。
解 由=⨯P A X ，有()()()()p ⨯=⨯⨯=-=-A P A A X A X A A A X AA A X故得 p -⨯=A A P X AA在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 4cos(23)2x π==-、4sin(23)y π==3z = 故该点的直角坐标为(2,-。
（2）在球坐标系中5r ==、1tan (43)53.1θ-==、2120φπ== 故该点的球坐标为(5,53.1,120) 用球坐标表示的场225r r =E e ，（1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。
解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故22512r r ==E e1cos220x x rx E θ====-e E E（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以233452525r r -+-===e e e r E故E 与B 构成的夹角为 11cos ()cos (153.63θ--===EB E B E B球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。
证明1R 和2R 间夹角的余弦为121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e得到 1212cos γ==R R R R 1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++=121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d r Sθ⎰e S 的值。
解 (3sin )d (3sin )d r r r SSS θθ==⎰⎰e S e e 2220d 3sin 5sin d 75ππφθθθπ⨯=⎰⎰在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理。
解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z ∂∂∇=+=+∂∂A所以 425d d d (32)d 1200z r r r πττφπ∇=+=⎰⎰⎰⎰A又 2d (2)(d d d )r z r r z z SSr z S S S φφ=+++=⎰⎰A S e e e e e42522000055d d 24d d 1200z r r ππφφπ⨯+⨯=⎰⎰⎰⎰故有 d 1200ττπ∇=⎰A d S=⎰A S求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
解 （1）2222232222()()(24)2272x x y x y z x x y x y z x y z∂∂∂∇=++=++∂∂∂A （2）∇A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1212122222121121d (2272)d d d 24x x y x y z x y z ττ---∇=++=⎰⎰⎰⎰A （3）A 对此立方体表面的积分12121212221212121211d ()d d ()d d 22Sy z y z ----=--+⎰⎰⎰⎰⎰A S1211212222212121212112()d d 2()d d 22x x z x x z ------+⎰⎰⎰⎰1121212232231212121211124()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=⎰⎰⎰⎰ 故有 1d 24ττ∇=⎰A d S =⎰A S计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求∇r 对球体积的积分。
解 223d d d sin d 4r SSS aa a ππφθθπ===⎰⎰⎰⎰r S r e 又在球坐标系中，221()3r r r r∂∇==∂r ，所以223000d 3sin d d d 4ar r a ππττθθφπ∇==⎰⎰⎰⎰r 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。
再求∇⨯A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
解 22222d d d 2d 0d 8Cx x x x y y =-+-=⎰⎰⎰⎰⎰A l又 2222x y zx z yz x x y z xx y z∂∂∂∇⨯==+∂∂∂e e e A e e 所以 2200d (22)d d 8x z z Syz x x y ∇⨯=+=⎰⎰⎰A S e e e故有 d 8C=⎰A l d S=∇⨯⎰A S求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，再计算∇⨯A 对此圆面积的积分。
解 2d d d CCx x xy y =+=⎰⎰A l 242422(cos sin cos sin )d 4a a a ππφφφφφ-+=⎰d ()d yx z z S S A A S x y ∂∂∇⨯=-=∂∂⎰⎰A S e e 2422200d sin d d 4a S a y S r r r ππφφ==⎰⎰⎰ 证明：（1）3∇=R ；（2）∇⨯=R 0；（3）()∇=A R A 。