数列求和例题精讲
1． 公式法求和
（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2
)
1(2)(2)(111-+=+=+=
-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =
1≠q 时 q
q
a a q q a S n n n --=--=11)1(11
（3）前n 个正整数的和 2
)1(321+=
++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)
12)(1(3212222++=
++++n n n n
前n 个正整数的立方和 2
3333]2
)1([321+=++++n n n
公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；
（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求数列13741+n ，，，， 的所有项的和
例2．求和221-++++n x x x (0,2≠≥x n )
2．分组法求和
例3．求数列112，124，138，…，1
2
n n +，…的所有项的和。

例4．在数列{}n a 中，1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++
（1） 设n n a
b n =，求数列{}n b 的通项公式
（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S
3．错位相减法求和
{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n {}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -
例7．求和12321-++++n nx x x （0≠x ）。

4．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例8．求和)
12)(12(1
751531311+-++⨯+⨯+⨯n n 。

例9．求和n
n +++
+++
++
+113
212
311
21 。

5 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪
⎭
⎪--121121…………相加
()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［
练
习
］
已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫
⎭⎪=
22
11212313414
（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=
++⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=+++=1111111112
2
2
2222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤
⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414
=
+++=1211131
2
）
专题训练 数列求和练习
1、数列}{n a 的通项n
a n ++++= 3211
，则数列}{n a 的前n 项和为
( )
A ．122+n n
B ．12+n n
C ．12++n n
D ．12+n n
2、数列 ,16
1
4,813,412,211的前n 项和可能为
( )
A ．n n n 21)2(212-++
B ．122
11)(21--++n n n
C ．n n n 21
)2(212-+- D ．)211(2)(212n n n -++
3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ，则22221n a a a ++等于
( )
A ．2)12(-n
B ．)12(31-n
C ．14-n
D ．)14(3
1
-n
4、数列}{n a 的通项公式)(1
1*N n n n a n ∈++=
,若前n 项和为10，则项数n 为
( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
5、在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=100S ．
6、已知)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则=+2215S S ．
7、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若,0,,12
11=-+∈>+-m
m m a a a N m m 3812=-m S ，则m ＝ ．
8、已知数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足)2
1(2
-=n n n S a S 。

（1）求n S 的表达式； （2）设1
2+=n S b n
n ，求}{n b 的前n 项和n T ．
9、等比数列}{n a 同时满足下列条件：①3361=+a a ，②3243=a a ，③三个数432,2,4a a a 依次成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）记n
n a n
b =，求数列}{n b 的前n 项和T n ．
10、等差数列}{n a 各项均为正整数，31=a ，前n 项和为n S ，在等比数列}{n b 中，11=b 且6422=S b ，公比为8。

（１）求n a 和n b ；（２）证明：
4
3
11121<+++n S S S 。