0
)

a
1 1

(1
) (
)
4 0a
a2 l 2 40 a a2 l 2
真空中的静电场
１－７. 一个半径为Ｒ的均匀带电半圆环，带有电量q. 求半圆环中心
上的场强分布。
解: 建立如图坐标系；
它在Ｏ点产生场强大小为：
dE

Rd 4π 0 R 2
方向沿半径向外。
分解： dEx
1.0 107
1
(22
1 12 )1/2


497.5( N
/
C)
6
dE y
dE sin

sin dx 4 0r 2

4 0
adx (l x)2 a2 3/2
l
adx

l ad l x
E y 4 0 0 (l x)2 a2 3/2 4 0 (1) 0 (l x)2 a2 3/2
) µx
+q -2q +q

q 4 0r 2
[(1
l
/
r )2

(1
l
/
r )2

2) µx
对(1 l / r)-2在0附近做泰勒展开，有
令 y = l / r, 则 f ( y) (1 y)2 f (0) f '(0)( y 0) f ''(0) ( y 0)2 ....... 2!
2
dx 40(R2
x2
)

r 1 x2 R2 20 R
Q 4R2 L2
dE θ
y
M
R θ0 x
（ii）保留角度，x用角度表示：
O dx
x
x

R tan
Байду номын сангаас

dx

R cos2
d
Ey
dE y
dE cos
4
dx
0(R2
x2
)
cos

dE sin
sind 4π 0 R
dE y相互抵消
积分
EO
0
4π 0 R
sind

2π 0 R

q
2 0π2 R2
,沿x轴正方向。
注意此题中若角度选取不同，积分上下限也会随之不同，但结果一样。
dq dl Rd
电磁学
10
1-8 设在半径为R的半个球面上, 均匀分布着电荷q，
r
l
l
P +q -2q +q
证明： （1）先求一个电偶极子延长线 上距离偶极子中心为x处的场强：
q
40 ( x+l
/
2)2

q
40( x
l
/
2)2
q
1
1

4 0 x2
( (1
l
/
(2 x ))2

(1
l
/
(2 x ))2
)
y
x
l
P
+q
-q
p
ql
Q l = x l / (2x) 0 对(1 l / (2x))-2在0附近做泰勒展开
则：
E

q
4 0r 2
{[1
2l
/
r

3(l
/
r)2 ] [1
2l
/
r

3(l
/
r )2 ]
2}
q 6l 2 6ql 2
6Q
4 0r 2 r 2 4 0r 4 4 0r 4
方向向右。
电磁学 5
1-6 如图所示，长为 l=2.00 m的均匀带电细棒，带有电荷量q=2.00×10-7C。
电磁学
2
真空中的静电场
q
1
1
E

4 0 x2
( [1
l
/
(2 x)]2

[1
l
/
(2 x)]2
)
y
p
ql
x
l
P
对(1 l / (2 x))-2 在0附近做泰勒展开，有 +q -q
可令 y = l / (2x), 则 f ( y) (1 y)2 f (0) f '(0)( y 0) f ''(0) ( y 0)2 ....... 2!

q
80 R2
方向沿 Z轴
1-10、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量 为q。⑴ 求轴线上离环中心O距离为x处的场强；
⑵ 画出E-x曲线； ⑶ 轴线上什么地方场强最大？其值是多少？
解：⑴ 由对称性可知，圆环在P点产生的场强沿轴线。
圆环上任一线元dl 在P点的场强为
dq
dE 1 edl q dl


a 4 0



2(
3 2

1)a 2
lx
l x2

a2
31 2


2 3 3 2
2( 3 1)a2 2

l
dx

0
l

x2

1
a
2

2

l

lx

l
q

4 0
a

lx
2

a
2
1/
即：[1 l / (2x)]2 1 (2)(1 0)3(l / (2x) 0) ....... 1 l / x [1 l / (2x)]2 1 (2)(1 0)3(l / (2x) 0) ....... 1 l / x
E

ad dx sin2
l cos dx /2 cos sin2 ad
Ex 0
4 0r 2

40 0
a2
sin2


4 0a
/2
cos d
0

4 0a
(sin
2
sin 0 )

4
0a
(1

sin
求半球面球心处的场强。
E

qx
4π0(r 2
x2 )3/2
解：在半球面上取圆环形面元．其带
电量为 dq 2 Rsin Rd
利用P34例3结论, 知其在O点的电场强度
大小为
1
R cos dq
dE


4 0
R sin
2
R cos
3
2 2

Y
R dE θ
q
40 x2
( [1
l
1 / (2x)]2

[1
l
1 / (2x)]2
)

q
40 x2

1

l x



1

l x


ql
20 x3
考虑到方向，电偶极子延长线上距离u偶v 极子中心为x处的场强为：
uv p
E 20 x3
电磁学
3
真空中的静电场
2
0

4 0
a
l2 a2
1/2 4 0a
l2 a2
1/ 2

9.0

109

2.0 10-7 1 (22 12 )1/
2

804.98( N
/ C)
E Ex2 Ey2 497.50782 497.50782 946.3(N/C)
7
dE y

dE sin
4 0r 2 r 4 0 (l x)2 a2 3/2
dq=dx

Ex 40
l l x dx
1 l d l x2
0
(l
x)2 a2 3/2

4 0
( ) 2
0
(l
x)2 a2 3/2

8 0
l d[l x2 a2 ]
0 (l x)2 a2 3/2
l


[ l x 2 a2 ]1/2


[ l x 2 a2 ]1/2 l

(1
1
)
8 0
3 1
4 0
0 4 0 a l 2 a2
2
0

9.0 109
O
d
X
sin cos d 2 0
方向沿X轴负向.如图所示.
dE sin cosd 2 0
O点的总电场强度为
E
dE

2

sin cos d
0 2 0

1q
q


4 0


4 0
2 R2


8 0 R2
“-”表示电场方向沿X轴负向.
R x
O dx
x
方向如图。根据对称性易知 Ex dEx 0
Ey
dEy
dE cos
dx 40(R2
x2
)
cos
求积分需要减少自变量，x和只能保留一个
（i）保留x，角度用x表示;查表计算积分：