例1 求 函 数y a x在x x0处 的 导 数 。
解
函数y=ax的反函数为x=logay，又(log a
1
y)
1 y ln a
。
则dy dx
1 dx
1 a x ln a y ln a
dy
1
2020年5月3日星期日
例2 求函数 y arcsinx 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
π 2
,π 2
f (ex )exe f (x) f (ex )e f (x) f (x) e f (x)[ex f (ex ) f (ex ) f (x)]
练习 设f(u)可导，求y=f{f[f(x)]}的导数。 答案 y f { f [ f (x)]} f [ f (x)] f (x) 注意 f [(x)]与{ f [(x)]} d f [(x)]的区别。
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§3.3 求导公式与求导方法
一、反函数的导数
定理 若 函 数f (x)在 区 间I单 调 ， 在x0 I处 可 导 ，f (x0 ) 0，
则 其 反 函 数x f 1 ( y)在y0 f (x0 )处 可 导 ， 且
dx
1
dy y y0
f (x0 )
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
dx
先求导后 代入
先代入后 求导
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1y (x 2)(x 3)
2y 3x 1
2x 3
求 3y 1 ln x
1 ln x
导
4 y esin x 2tan x
数
5y 1 1 x
6y arctan 3x 1
7y ln(sec x tan x)
1y 2x 5
dy dx
x x0
f (u0 )g(x0 )
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
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当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似
结果，例如对三个函数y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)复合而成的函
数y=f{g[h(x)]}，有
(cotx) csc2 x
(cscx) cscx cot x
(ex ) ex
(ln x) 1 x
(arccosx)
1 1 x2
(arc c ot
x)
1
1 x
2
3
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三、复合函数求导
定理(链式法则) 若函数u=g(x)在x=x0可导，y=f(u)在u0=g(x0)可导，则复合 函数y=f[g(x)]在x=x0可导，且
)内单调、可导
,
且 (siny) cos y 0, 在Ix (1,1)内有
(arcsinx) 1 (sin y)
1 cos y
1
1 sin2 y
1. 1 x2
同理可得
(arccos x) 1 . 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
;(arc cot
x)
1
1 x2
.
2
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2
2
a
1 a2 x2 1
2
2
x2 a2 x2
2
a2 a2 x2
a2 x2 .
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例5
求函数y
e
sin
1 x
的导数。
解 题中函数由y=eu、u=sinv、v=1/x复合而成，又 dy eu
du
du cosv dv
dv 1 dx x2
则
dy dx
dy du
du dv
例3 求函数 y (x2 1)10 的导数 . 解 dy 10(x2 1)9 (x2 1)
dx 10(x2 1)9 2x 20x(x2 1)9.
例4 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 . (a 0)
2
2
a
解 y (x a2 x2 ) (a2 arcsin x)
注意最后要把u、v换回x
dy dy du dv f (u)g(v)h(x) 。 dx du dv dx
应用时，首先把函数进行“分解”，由外到里写成几个 基
本初等函数复合而成的形式(注意一定要“分解”得彻底，保 证 最后写出的函数都是基本初等函数)，然后按照链式法则逐个 求导。
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2y
(2
11 x
3)2
3y
2 x(1 ln
x)2
4y esin x cos x sec2 x 2tanx ln 2
5y
1
4 1 x 1 1 x
6y 1
7y sec x
2x 3x 1
8y ln(1 x 2x x2 )
8y (1 x)ln(1 x 2x x2 ) 2x x2 log2 3
二、基本导数公式 (C) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x (secx) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(arcsinx) 1 1 x2
(arc
tanx)
1
1 x
2
(x ) x 1
(cosx) sin x
c ose x0
因此有
例2 求函数 y lnsinx 的导数.
解 y lnu, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x cos x cot x
u
sin x
练习 求函数y e x 在x x0处的导数。 答案
e x0 。 2 x0
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例1 求函数y=sinex在x=x0处的导数。 解 函数y=sinex由基本函数y=sinu和u=ex复合而成， 又
dy du
u u0
(sinu) u u0
cosu0
du (ex ) ex0
dx xx0
x x0
dy dx
x x0
dy du
uu0
du dx
x x0
cosu0 ex0
ex0
dv dx
eu
cosv
Байду номын сангаас
(
1 x2
)
1 x2
sin 1
ex
cos 1 。 x
练习 求函数y ex sin 2x的导数。
答案
e
x
c
os
2x sin
2x
2x
熟练以后，可以不写出中间变量，直接求导。
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例 设f(u)可导，求y=f(ex)ef(x)的导数。 解 y [ f (ex )]e f (x) f (ex )[e f (x) ]
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§3.4高阶导数与隐函数求导
一、高阶导数
我们知道，速度v是位移函数s(t)的导数：v=s′(t)。设初始时
刻t0的速度为v0，末时刻t的速度为v，则从t0到t的(平均)加速度