(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13) (14)(15) (16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：常用积分公式表·例题和点评⑴kdx kx c ( k 为常数)⑵x dx( 1) 1 x 1 c1特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x⑶1dx ln | x | c x⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x cln a⑸ sin x dx cos x c⑹ cos x d x sin x c⑺1 d x csc2 x dxcot x csin 2x⑻1 d x sec2 x dxtan x ccos 2 x⑼1dx xc ( a 0) , 特别，a 2 x 2 arcsina⑽1dx1 x c (a 0) , 特别，a 2 x 2 arctanaa⑾11 a xa2x 2d x2a lna x c ( a 0)或11 x ax2a 2dx2alnx ac ( a 0)⑿ tan x dxln cos x c⒀ cot x dxln sin xc1 arcsin xc1d x x 211x 2dxarctan x c1ln csc x cot x c⒁ csc x d xxdxln tan csin x21ln sec x tan x c⒂ secx d xxdxccos xln tan 42 1( a 0)x 2a 2 ⒃a 2 dxln xcx 2⒄a 2x 2dx( a 0)a2x xa 2x 2carcsin22a⒅x 22(a 0)xx2 a 2a 2 ln xx 2 a 2ca d x22e ax sin bx d x a sin bxbcosbx e ax c⒆a 2b 2b sin bx acosbxaxcosbx dx axce 22ea b⒇1dxnx2n3 n 1 c （递推公式）2 x 2 ) n 1)a 2 ( a 2x 2 ) n 1 2(n 1)a 2 (a2( n跟我做练习( 一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式 )例 24 含根式ax 2 bx c 的积分⑴x 2 4x 5 dx(x 2)21d( x 2) [ 套用公式⒅]x 2( x 2)211ln ( x 2)(x 2)2122⑵ x x 24x 5 dx 1(2 x4) 4 x 2 4x 5 dx21 x2 4 x 5 d( x 2 4x 5) 2x 24x 5 dx2( 请你写出答案 )⑶x 2 1 dx1 d( x 2) ln ( x 2) ( x 2)214x 5( x 2) 21[ 套用公式⒃]⑷x dx1 (2 x 4) 4 1 d( x 24x 5)1x 22x 2dx2x 22x 2 dx4x 54x 5 4x 54x 5( 请你写出答案 )⑸5 4 x x 2dx32( x 2)2d( x 2) 32 arcsinx 2x 2 32 ( x 2) 22 32[ 套用公式⒄]⑹x 5 4x x 2 dx1 (4 2x) 4 5 4 x x2 dx2 1 5 4x x 2 d(54x x 2 ) 25 4 x x 2 dx2( 请你写出答案 )⑺dx d( x 2) [ 套用公式⑼] arcsinx2 5 4 x x 2 32 ( x 2) 23⑻x dx 1 (4 2x) 4 dx 1d(5 4 x x 2 )dx 4 x x 225 4x x 22x 225 5 4x 5 4x x 2( 请你写出答案 )例 25 求原函数1 dx .1 x4解 因为1 x 4 (12 x 2x 4 ) 2x 2 (1 x 2 ) 2 ( 2x) 2 (12xx 2 )(1 2x x 2) 所以令1Ax BCx D( A, B,C, D 为待定常数）1 x4x22 x 1 x 22x 1( Ax B)(x 22x 1) (Cx D )(x 22x 1)x 22x 1 x 22 x 1从恒等式 ( Ax B)( x22x 1) (C xD )( x 22 x 1) 1 ( 两端分子相等 ) ，可得方程组B D 1 (常数项 )A 2BC 2D 0 （一次项系数） 2 A B2C D 0 （二次项系数）A C 0 （三次项系数）解这个方程组 ( 在草纸上做 ) ，得 A1 , B 1, C 1 2 , D 1 . 因此，2 2 2 2 2 1 1 x 11 x 12 2 22 2 21x 4dxx 22x 1 d x x 22x 1 d x右端的第一个积分为1 x1 1 (2 x 2) 2 1 (2x2)d x 1 12 2 2 dx dxdx x2 2x 1 4 2 x 22x 1 4 2 x22x 1 4 x22x 11 d( x 22 x 1)11dx ( 套用积分公式 )2424 2 x2x 12 1 2x221 ln( x2 2x 1) 1 arctan( 2x 1)4 22 2类似地，右端的第二个积分为2 1 x 1 112 2 dx 22x 1)arctan( 2 x 1)x 22x 1 4 ln( x222所以1 x 4dx1x 22 x 1 1114 2 ln x 22 x 1 2 2 a rctan( 2x 1)2 2 arctan( 2x 1)1 lnx 22x 11 arctan 2x （见下注）4 2 x 22x 1 2 21 x 2【注】 根据 tan(tan tan ), 则1 tantantan arctan( 2 x 1) arctan( 2 x1)( 2x 1) ( 2x 1) 2 2 x2 x1 (2 x 1)( 2 x1) 2(1 x 2)1 x 2因此 ,arctan( 2x 1) arctan( 2x 1) arctan2x1 x 2例 26 求dx(01) . [关于dx(01) ，见例 17]11cos xcos x解 令 t tan x( 半角替换 ) ，则2t 2cos x2x sin 2 x 2cos 2 x 121211cos2 2 21 t 22x1 2xsec 2tan 2dx d(2arctan t )1 2 dtt 2于是，dx12 dt 2dt2dt1cos x1 1 t2 1 t 2 (1) (1)t 211t 21 t 212arctan1 t c2arctan 1 tan xc1 2 11 21 2 2【点评】 求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律， 但不像求它们的微分或导数那样规范化 . 这是因为从根本上说，函数y y( x) 的导数或微分可以用一个“构造性”的公式y ( x) limy( xh)y( x)或dy y ( x)dxh 0h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法. 积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类. 譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数( 这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样 ). 有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如e x 2dx,1dx,exdx,sin x dx 等ln xx x都不能表示成初等函数. 因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多 . 我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分. 尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数. 因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了 .。