s s(t )
设曲线过点 (1,2) ，且其任一点的切线斜率等于横 坐标的两倍，求该曲线方程。
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的基本性质 四、基本积分公式表
原函数与不定积分的概念
一、原函数的概念 定义1：设函数 f ( x)在区间I 上有定义，若区间 I 上存 在函数 F ( x) ，使得 F ( x) f ( x), x I 或者dF( x) f ( x)dx, x I , 则称 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数.
f ( x)dx—被积表达式
C
x
—积分变量
—积分常数
四、例题 例1 计算
5 x dx
例2设曲线过点 (1,2) ，且其上任。
五、小结 1.如果一个函数存在原函数，那么个数是无穷多个； 任意两个原函数之间相差一个常数. 2.不定积分表示被积函数的全体原函数，注意积分常 数不能省略。
二、不定积分的概念 定义2：设函数F ( x) 是f ( x) 在区间 I上的一个原函数， 则称 f ( x)的全体原函数为 f ( x)在区间 I 上的不定积分， 记作： f ( x)dx 即： f ( x)dx F ( x) C
其中C 为任意常数
f ( x) —被积函数
—积分符号
六、课后练习
第四章 不定积分
F ( x) (?) 微分学：
(?) f ( x) 积分学：
问互 题逆
微分学问题：已知变速直线运动方程 s s(t ) ， 求瞬时速度v(t ) .
2 (1,2) 的切线方程 y x 1，求过点 已知曲线方程
v(t ) 已知瞬时速度 ， 积分学问题： 求变速直线运动方程
问：函数是否都有原函数？
一、原函数的概念 原函数存在定理：设函数 f ( x)在区间 I 上连续，则 区间 I 上存在可导函数 F ( x) ，使得 F ( x) f ( x), x I
连续函数一定存在原函数。 问题： 1.原函数存在是否唯一？ 2.若不唯一，任意两个原函数之间是什么关系？
一、原函数的概念
有关原函数的说明： 1.如果F ( x)是 f ( x) 的原函数， 那么F ( x) C 也是 f ( x)的原函数.
若存在，则无穷多个 2. 3.
f ( x) 任意两个原函数之差为常数. F ( x)
是 f ( x) 的一个原函数，则 f ( x)全体原函数为F ( x) C