2020—2021学年度上期高2018级半期考试理科数学答案一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分。

1—5 BCCDD 6—10 ADADC 11—12 CB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 4 14． 1a ≥- 15． 12π 16. 31[0,]{}3e e ⋃三、解答题：共70分。

{}11111111111-1-117.3232(1),33321(2)233+2=2,32,1,3(4)2233(5 )233+2=3,=32(7)22(2)n n n n n n n n n n n n n n n n n n S a n S a n a a a a a a a b b S a a b b a a +++++++=-∴=-+∴=--∴=+∴+∴==-∴==∴∴⨯∴⨯-解：(1),,分（），分为以为首项，为公比的等比数列分()()分-1121()12233=,=1()(9)233313<1,<1()(12 )n n nn n n n c T T T m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⋅∴=--∴∴≥（）分恒成立，没有等号扣一分分71722118.4,43,()()140ˆˆ7414011228523523(8 )(2)2022 51023732022 73 (12 )i i t it t y t t y y tba yb t y t y ====--=-⨯=-=∴==-⋅==+=⨯+=∴∑∑解：(1)故有，解得故回归直线方程为分由该回归直线预测该地区年的年用电量预测该地区年的年用电量为万千瓦时分19．解：(1)图甲中∵且,∴,︒=∠90ABD ,即. ……………1分 图乙中,∵平面ABD 平面BDC ,且平面ABD平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ． ……………………………3分 又，∴DC ⊥BC ,且∴DC 平面ABC ． …………………………5分(2)解法一. ∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点,∴EF //CD ,又由(1)知DC 平面ABC ,∴EF ⊥平面ABC . ……………………………7分 又∵BE 平面ABC ，AE 平面ABC ，045A ∠=45ADB ∠=AB BD ⊥⊥90DCB ∠=ABBC B =⊥⊥⊂⊂∴FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角, …………9分 在△AEB 中,, ∴, ……………………………11分 即所求二面角B －EF －A 的余弦为. ………………12分解法二.如图,以为原点,为x 轴正向,为轴正向建立空间直角坐标系如图,设,则,, ………………6分可得,,,.于是, ,. …………………7分 设面ACD 的法向量为,面BEF 的法向量为,则;.解得⎪⎩⎪⎨⎧==33111y x ;⎪⎩⎪⎨⎧-=-=33122y x ,即, ……………………10分 ,又二面角为钝二面角， 所求二面角B －EF －A 的余弦为. …………12分 22117222AE BE AC AB BC a ===+=2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅17-B BD BA z CD a =2,BD AB a ==3BC a =22AD a =(0,0,2)A a 33(,,0)22C a a 13(,,0)22CD a a =-(,0,)BF a a =33(,,)44E a a a 33(,,)44BE a a a ∴=33(,,2)22AC a a a =-11(,,1)m x y =22(,,1)n x y =11111302332022m CD ax ay m AC ax ay a ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩222330440n BE ax ay a n BF ax a ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩3(1,,1)m =3(1,,1)n =--11113cos ,72121m n --+∴==-⋅17-22222222222222222222320.(1),,4,1(2)41)1,:1(4)24(2)41(14)326440(5)44)1161920,(6)12(c x ya b c a ba b bxM C b C yAB AB y k xxyk x k x ky k xk kA==+∴=∴+=-∴=∴+==+⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩∆=->∴<解：分将代入椭圆，分显然斜率存在，设为：（）,分（分设112211221212222111212111121211212222222,),(,),(,)32644,(7)1414:()(8)24()()8644322()4()141432()814x y B x y D x yk kx x x xk ky yBD y y x xx xx y x y kx x k x xy x xy y k x x kk kk kk kkk kk--∴+=-=++++=---++∴==+=+++-+-++==-++分直线分时333312881281(11)32832(12)k k kk k kBD--=--++∴分直线过定点（-1，0）分221121.(1)ln2(0)'ln1(1)1'ln1(+)1'0(3)01'0,1'0,1(5)y x x x y xx xy x x yxx y y x y yx=+->∴=-----=--∞==---∴<<<>>∴=---解：由题意分又在0，单调递增，且当时，分当时单调递减；当时单调递增，当时，极小值为-1,无极大值分（2）（方法一）依题意，方程xlnx ainx=在1[,)eπ上只有一个解，记1(),[,)g x xlnx xeπ=∈，1()sin,[,)h x a x xeπ=∈，则函数()g x与()h x的图象在1[,)eπ上有且仅有一个交点，又()10g x lnx'=+在1[,)eπ上恒成立，故函数()g x在1[,)eπ上单调递增，(7)---分()i当0a>时，函数()h x在1[,)2eπ单调递增，在[,)2ππ单调递减，且11()sin0,()0,()0maxh a h x a he eπ=>=>=，如图，显然，此时满足函数()g x与()h x的图象在1[,)eπ上有且仅有一个交点，符合题意；(8)---分()ii当0a=时，()f x xlnx=，显然在1[,)eπ上有且仅有一个零点1x=，符合题意；(9)---分()iii 当0a <时，函数()h x在1[,)2e π单调递减，在[,)2ππ单调递增，且11()sin 0,()0,()0min h a h x a h e eπ=<=<=，如图，要使函数()g x 与()h x 的图象在1[,)e π上有且仅有一个交点，只需11()()h g e e ，即11sina e e -，即11sin a e e-，又0a <，故101sina e e-<；(11)---分综上，实数a 的取值范围为1[,)1sine e-+∞．(12)---分（方法二）参变分离2232cos 22.()42sin (-3)(4)4cos()4cos +sin =2cos sin -20-20x y C x y x yl x y C l x y d M l θθθπρθρθρθρθρθ=+⎧⎨=-+⎩∴++=-===∴+=+===解：(1)圆C 的参数方程为为参数圆的普通方程为(2分)由得，直线的直角坐标方程(5分)(2)圆心(3,-4)到直线:的距离为：(6分)由于是直线任1=2222MC d AMBC S AC MAAC AMBC ≥=∴⨯⨯⨯==≥∴意一点，则四边形面积四边形(10分){}22222223.(1)1251--125,2;-12125,;2125,3;23(5)(2)()()6222()x x x x x x x x x x x x x x x x f x x a x b c x a x b c a b c a b a c b c ab ac bc b c a b c b a c b a c b ++->≤--+>∴<-<≤+-+>∴>++->∴>∴<->=++-+≥+--+=++=+++∴++≥++=++解：不等式可化为当时，当时，无解当时，不等式的解集为或分()()2()12(10)a c abc a b c c a b a+++≥++=分。