九年级数学竞赛专题第十二讲几何不等式一、选择题1．已知线段a,b,c的长度满足a < b < c，那么以a,b,c为边组成三角形的条件是（）A．c – a < b ; B．2b < a + c ; C．c – b > a; D．2b< ac2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，则∠B的取值范围是（）A．0°< ∠B < 64°; B．58°< ∠B < 64°C．58°< ∠B < 122°; D．64°< ∠B < 122°3．在锐角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三边c的变化范围是（）A．2 < c < 4; B．2 < c < 3; C．2 < c < 10; D．22< c < 104．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如图），若BD=x, DE=y, CE=z，则有（）A．x > y > z ; B．x = z > yC．x = z < y; D．x < y = z5．已知三角形三边长a,b,c都是整数，并且a≤b<c，若b =7，那么这样的三角形共有（）个。
A．21; B．28; C．49; D．14二、解答题1．如图，已知△ABC中，AB > AC，AD是中线，AE是角平分线。
求证：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。
2．如图，已知△ABC ，AB=AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点。
求证：∠AEB > ∠AEC。
3．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，E 、F 分别在AB 、AC 上且AE=CF 。
求证：EF ≥21BC 。
4．如图，已知△ABC 中，BC 大于其它两边，D 、E 分别在AB 、AC 上，连结DE 。
求证：DE < BC 。
5．如图，已知△ABC 中，∠ABC > ∠ACB ，BE 、CF 分别是角平分线。
求证：BE < CF 。
6．如图，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。
求证：AB + CF > AC + BE。
7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。
求证： BC + AD > AB + CD。
8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，设AC与DB交于E。
求证：AE > DE。
9．如图，已知△ABC 中，∠BAC=120°，P 为△ABC 内一点。
求证：PA + PB + PC > AB + AC 。
10．已知△ABC 中三边长分别为a,b,c ，相应边上的中线长为a m ，b m ，c m 。
求证：（1）;44222a bc m a bc a +≤≤-（2）;44222b ac m b ac b +≤≤- （3）;44222c ab m c ab c +≤≤-答案 一、 1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：1．由A 答案c – a < b 及已条条件a < b < c 可推出a + b > c ，a + c > b, b + c > a ，因此可以组成三角形，B 、C 、D 答案均可举出反例：如a = 1, b = 3, c = 6时，满足B 和C ，但不能组成三角形，当a = 1, b = 2, c = 5时，满足C ，但不能组成三角形。
2．因为AB > BC所以∠C > ∠A = 58°所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°- 58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C 、D 。
令∠B=40°，则∠C=82°，符合条件，故排除B 。
3．若∠C 是最大角，则∠C < 90°所以c < 22b a +，即c <；若∠B 是最大角，则∠B < 90° 所以222c a b +< 所以9 < 1 + c 2所以 c > 22 所以22 < c < 104．易证△ABD ≌△ACE ⇒BD=EC ，即x = z又因为∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2所以BD > DE 即x > y ，所以x = z > y 选B5．根据两边之和大于第三边和条件a ≤b < c ，b = 7，有以下情况：a 2 3 4 5 6 7b 7 7 7 7 7 7c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21个，选A二、1．略解：延长AD 到F ，使DF=AD ，连结BF （如图）易证△ADC ≌△FDB ，所以AC=BF （1）在△ABF 中，AB+BF > AD + DF 所以2AD < AB + AC（2）因为△ADC ≌△FDB ，所以∠CAD=∠F 因为AB > AC ，所以AB > BF ， 所以∠F > ∠BAD ， 所以∠CAD > ∠BAD（3）由（2），∠BAD < ∠DAC 及∠BAE = ∠EAC = 21∠BAC 所以∠BAD < ∠EAC因为AB > AC 所以∠C > ∠B 所以∠BAD + ∠B < ∠EAC + ∠C所以∠ADE < ∠AED ，所以AE < AD2．略证：如图，因为AB=AC ，AD 为中线，所以∠BAD=∠CAD ，∠ABC=∠ACB因为E 在△ABD 内，所以∠BAE < ∠BAD 所以∠BAE < ∠BAD < ∠CAE 在△ABE 与△ACE 中 AB=AC ，AE=AE所以BE < EC 所以∠2 < ∠1所以∠ABC –∠1 < ∠ACB - ∠2即∠3 < ∠4所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC3．略证：过E 作ED 平行且等于BC ，连结DF ，DC （如图） 所以BCDE 是平行四边行所以DC 平行且等于BE ，所以∠1=∠A因为AB=AC ，AE=FC 所以BE=AF=DC所以△AEF ≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD 中，EF+DF > DE所以2EF > BC 即EF >21BC当E 、F 为AB 、AC 中点时，EF=21BC 所以EF ≥21BC4．略证：连结BE （如图）因为BC > AB ，BC > AC ，所以∠A > ∠ACB, ∠A > ∠ABC，所以∠BDE > ∠A > ∠ABC > ∠DBE，所以BE > DE又因为∠BEC > ∠A > ∠C，所以BC > BE，所以DE > BD5．略证：因为∠ABC > ∠ACB，所以∠ABE > ∠ACF，∠BEC > ∠FCB在∠ABE内部以BE为一边作∠GBE=∠ACF，GB交AC于G（如图）在△GBC中，∠GBC > ∠GCB所以GC > GB在GC上截以CH = BG，过H作HK∥BG交CF于K则∠BGE=∠KHC所以△BGE≌△CHK（ASA）所以BE=CK < CF6．略证：在AB上截取AC'=AC过C'作C'F'⊥AC于F'（如图）易证△ACF≌△A C'F'（AAS）所以C'F'=CF过C'作C'D⊥BE交BE于D则BD=BE-DE=BE- C'F'，所以BD=BE-CF在直角三角形BC'D中，BC'> BD所以AB-AC'=AB-AC > AB – CF所以AB + CF > AC + BE7．略证：在OA上截取OC'=OC在OB上截取OD'=OD连结C'D'，AD'，BC'，设BC'、AD'交于E（如图）易证△COD≌△C'OD'（SAS）所以CD= C'D'易证△AOD ≌△AOD '，△COB ≌△C 'OD （SAS ） 所以AD=AD '，CB= C 'B在△C 'D 'E 中，C 'E+D 'E > C 'D '① 在△ABE 中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + D 'E + BE + C 'E > AB + C 'D '所以A D '+ BC ' > AB + CD所以AD + BC > AB + CD8．略证：由已知可得2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC在BD 上截取DF=AC ，连结AF 、AD （如图） 因为BD+DC=2AC ， 所以DC+BF=AC=AB ，所以在△BAF 中，AF> AB – BF = DC 在△BADC 与△ADF 中， AD=AD ，AC=DF ，AF > CD ， 所以∠1 > ∠2 所以AE > DE9．略证：延长BA 到D 使AD=AC ，连结DC ，作∠DCE=∠ACP ，且CE=CP ，连结DE 、EP （如图）易证△ADC 是等边三角形，△DCE ≌△ACP 所以AC=CD=AD ，所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60°且DE=AP所以△CEP 是等边三角形 所以CP=EP所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB10．略证：这里只证明（1）利用勾股定理可以证明2222212a m c b a +=+] ∴442)(422222222a bc a bc cb ac b m a-≥-+-=-+= 又422222a cb m a-+=42))((42)(24222222222a a c b a c b bc a a c b bc a a c b +--+-+=+--+=+-+=∵ b – c – a = b – (a + c ) < 0b –c + a = (a + b ) – c > 0∴422a bc m a+<∴44222a bc m a bc a +<<-.。