阶段检测4 二次函数一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )2．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是( )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点3．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 4．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y ＝x 2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是( )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋6x ＋5C ．y ＝x 2＋4x ＋4D ．y ＝x 2＋8x ＋17 5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：第5题图①二次三项式ax 2＋bx ＋c 的最大值为4；②4a ＋2b ＋c ＜0；③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－1；④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0.其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，自变量x 与函数y 的对应值如表：下列说法正确的是( )A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是－2D ．抛物线的对称轴是x ＝－527．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，点C 在y 轴的正半轴上，且OA ＝OC ，则 ( )第7题图A ．ac ＋1＝bB ．ab ＋1＝cC ．bc ＋1＝aD ．以上都不是 8．(2017·宜宾)如图，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B 、C 两点，且D 、E 分别为顶点．则下列结论第8题图①a ＝23；②AC ＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2，其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1，若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜8第9题图 第10题图10．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ACB ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是( )A ．y ＝225x 2 B ．y ＝425x 2 C ．y ＝25x 2 D ．y ＝45x 2二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量l/mm 与温度t/℃之间是二次函数关系：l ＝－t 2－2t ＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.第11题图12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ，其中正确结论的序号有 .第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长为 .14．如图，四边形ABCD 是矩形，A 、B 两点在x 轴的正半轴上，C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m(0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 .15．如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B 落在抛物线y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则该抛物线的解析式为 .16．已知：抛物线y ＝a(x －2)2＋b(ab ＜0)的顶点为A ，与x 轴的交点为B 、C. (1)抛物线对称轴方程为 ；(2)若D 点为抛物线对称轴上一点，若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是正方形，则a ，b 满足的关系式是 .三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)17．已知抛物线y ＝x 2－2x ＋1. (1)求它的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象，确定当x ＞2时，y 的取值范围．第18题图18．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y ＝ax 2＋bx(a ≠0)表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34m ，到墙边的距离分别为12m ，32m .(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？第19题图19．如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．20．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．21．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：其中a 为常数，且3≤a ≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y 1万元、y 2万元，直接写出y 1、y 2与x 的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．22．A 、B 两个水管同时开始向一个空容器内注水．如图是A 、B 两个水管各自注水量y(m 3)与注水时间x(h )之间的函数图象，已知B 水管的注水速度是1m 3/h ，1小时后，A 水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是(1，2)，且注水9小时，容器刚好注满．请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)直接写出A 、B 注水量y(m 3)与注水时间x(h )之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围：第22题图y A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1） （ ） y B ＝________( )(2)求容器的容量；(3)根据图象，通过计算回答，当y A ＞y B 时，直接写出x 的取值范围．23．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m )与水平距离x(m )之间满足函数表达式y ＝a(x －4)2＋h ，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q处时，乙扣球成功，求a 的值．第23题图24．如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．第24题图(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．阶段检测4 二次函数一、1—5.CBABB 6—10.DABCC二、11.－1 12.①③④ 13.3＋3 14.l ＝－2m 2＋8m ＋12 15.y ＝－23x 2 16.(1)x ＝2 (2)ab ＝－1三、17.(1)y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，0)； (2)抛物线图象如图所示：当x ＝2时，y ＝1.由图象可知当x>2时，y 的取值范围是y>1.第17题图18．(1)根据题意得：B ⎝⎛⎭⎫12，34，C ⎝⎛⎭⎫32，34，把B ，C 代入y ＝ax 2＋bx 得⎩⎨⎧34＝14a ＋12b ，34＝94a ＋32b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴拋物线的函数关系式为y ＝－x 2＋2x ；∴图案最高点到地面的距离＝－224×（－1）＝1； (2)令y ＝0，即－x 2＋2x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝2，∴10÷2＝5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．19．(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3，(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD ，BC ，过C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x－4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝⎛⎭⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.第19题图20．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x ， （0<x ≤30）[120－（x －30）]x ， （30<x ≤m ）[120－（m －30）]x ， （x>m ）. (2)由(1)可知当0＜x ≤30或x>m ，函数值y 都是随着x 的增加而增加，当30＜x ≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5625，∵a ＝－1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤75.21．(1)y 1＝(6－a)x －20，(0＜x ≤200)，y 2＝10x －40－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40.(0＜x ≤80)． (2)对于y 1＝(6－a)x －20，∵6－a ＞0，∴x ＝200时，y 1的值最大＝(1180－200a)万元．对于y 2＝－0.05(x －100)2＋460，∵0＜x ≤80，∴x ＝80时，y 2最大值＝440万元．(3)①(1180－200a)＝440，解得a ＝3.7，②(1180－200a)＞440，解得a ＜3.7，③(1180－200a)＜440，解得a ＞3.7，∵3≤a ≤5，∴当a ＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．当3≤a ＜3.7时，生产甲产品利润比较高．当3.7＜a ≤5时，生产乙产品利润比较高．22．(1)y A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤1）18（x －1）2＋2（1<x ≤9）；y B ＝x(0≤x ≤9)， (2)容器的总容量是：x ＝9时，V 总容量＝x ＋18(x －1)2＋2＝9＋10＝19(m 3)， (3)当x ＝18(x －1)2＋2时，解得：x 1＝5－22，x 2＝5＋22，利用图象可得出：当y A ＞y B 时，x 的取值范围是：0＜x ＜5－22或5＋22＜x ≤9.23．(1)①当a ＝－124时，y ＝－124(x －4)2＋h ，将点P(0，1)代入，得：－124×16＋h ＝1，解得：h ＝53；②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53，得：y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；(2)把(0，1)、⎝⎛⎭⎫7，125代入y ＝a(x －4)2＋h ，得：⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得：⎩⎨⎧a ＝－15，h ＝215，∴a ＝－15. 24．(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，将A 、B 点的坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝72，36a ＋6b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝143，c ＝－4，抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋143x －4，配方，得y ＝－23⎝⎛⎭⎫x －722＋256，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫72，256； (2)E 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，－23x 2＋143x －4，S ＝2×12OA ·y E＝6⎝⎛⎭⎫－23x 2＋143x －4，即S ＝－4x 2＋28x －24； (3)平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF 的面积为24时，即－4x 2＋28x －24＝24，化简，得x 2－7x ＋12＝0，解得x ＝3或4，当x ＝3时，EO ＝EA ，平行四边形OEAF 为菱形．当x ＝4时，EO ≠EA ，平行四边形OEAF 不为菱形．∴平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 可能为菱形．。