第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。

微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。

微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。

本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。

下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。

例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)yy=在该点的导数；力学中的牛顿第二运(x)(xy动定律：maF=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。

从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。

对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻209210力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：2kv mg dtdv m -= 求解模型可得：)1]2(exp[)1]2(exp[+-=mkg t k m kg tmg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：kmg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。

根据极限速度求解式子，在ρα,,m 一定时，要求落地速度1v 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来。

3．利用导数的定义建立微分方程模型导数是微积分中的一个重要概念，其定义为x y xx f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00lim )()(lim )(， 商式xy ∆∆表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化率，因而其极限值就是函数的变化率。

函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率。

由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。

这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。

例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。

我们假设时刻t 时该放射性物质的存余量R 是t 的函数，211由裂变规律，我们可以建立微分方程模型:kR dtdR -= 期中k 是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。

求解该模型，我们解得：kt Ce R -=，其中c 是由初始条件确定的常数。

从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。

（参考碳定年代法）另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。

4．利用微元法建立微分方程模型一般的，如果某一实际问题中所求的变量p 符合下列条件：p 是与一个变量t 的变化区间],[b a 有关的量；p 对于区间],[b a 具有可加性；部分量i p ∆的近似值可表示为i i t f ∆)(ξ。

那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t 为自变量，并确定其变化区间],[b a ；在区间],[b a 中随便选取一个任意小的区间并记作[dt t t +,]，求出相应于这个区间的部分量p ∆的近似值。

如果p ∆能近似的标示为],[b a 上的一个连续函数在t 处的值)(t f 与dt 的乘积，我们就把dt t f )(称为量p 的微元且记作dp .这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：dt t f dp )(=.对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。

例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积；代数方面求近似值以及流体混合问题；物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心；这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。

5．熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。

多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。

212案例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过%80 )/(ml mg .现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是)/%(56ml mg ,又过两个小时后, 测得其酒精含量降为)/%(40ml mg ,试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?解 模型建立设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则在时间间隔],[t t t ∆+内, 酒精浓度的改变量t t x x ∆⋅≈∆)(,即t t kx t x t t x ∆-=-∆+)()()(其中0>k 为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 两边除以t ∆, 并令0→∆t , 则得到,d d kx tx -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.模型求解容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到kt x t x -=e )(0.则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得17.04056e 40e 56e 25030=⇒=⇒⎩⎨⎧==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈⋅=⇒=⨯⨯-x x >80.故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.案例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是C o 29, 当时环境温度是C o 21.一小时后尸体温度下降到C o 27,若人的正常体温是C o 37,估计死者的死亡时间.解 运用牛顿冷却定律T ')(T T out -=-α,得到它的通解为)(0out out T T T T -+=t α-e ,这里0T 是当0=t 时尸体的温度,也就是所求的死亡时间时尸体的温度,将题目提供的参数代入213⎩⎨⎧=-+=-++--27e)2137(2129e )2137(21)1(t t αα 解得168e =-t α 和 166e )1(=+-t α 则34e =α， 进一步得)(409.2)12(,2877.0h Ln t ≈-=≈αα. 这时求得的t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚35:10.案例3 建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并求h v ,一定的条件下求最佳出手角度．解 在图5-1坐标下铅球运动方程为0=x，g y -= ，0)0(=x ，h y =)0(， αcos )0(v x = ，αsin )0(v y = ． 解出)(t x ，)(t y 后，可以得铅球掷远为 ααααcos )2sin (cos sin 212222v g h g v g v R ++=. 图5-1 这个关系还可表为 )tan (cos 2222ααR h v g R +=． 由此计算0d d =*ααR，得最佳出手角度和最佳成绩分别为：)(2sin 21gh v v+=-*α， gh v gv R 22+=*． 设s m v m h /10,5.1==，则 4.41=*α，m 4.11=*R ．案例4 在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象．解 记B 的浓度为时间t 的函数)(t y ，A 的浓度为)(t x ．一、假设2141．mol 1A 分解后产生nmol B ．2．容体的体积在反应过程中不变．二、建立模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立kx t x-=d d ，其中k 为比例系数．设反应开始时0=t ，A 的浓度为0x ，由题中条件知当20=t （分）时，A 的浓度为021)20(x x =．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-0)0(d d x x kx t x得kt x t x -=e )(0,它应满足020021e )20(x x x k ==⨯-.解得 2ln 201=k ,所以得)2ln 200e )(（tx t x -=.由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有)e 1(]e [)(2ln 2002ln 2000ttnx x x n t y ---=-=.三、作图（如图5-2）nx215图5-2案例5 车间空气清洁问题某生产车间内有一台机器不断排出2CO ，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的2CO 含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型．请注意，平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间],[x x x ∆+上的微元形式：某个量在该区间上的增加量等于该区间段内进入量与迁出量的差．解 1．问题分析与假设上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其2CO 含量尽管也有但较低．新鲜空气与车间内空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低2CO 含量．为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间.此问题中的主要变量及参数设为：车间体积：V （单位：立方米），时间：t （单位：分钟），机器产生2CO 速度：r （单位：立方米/分钟），鼓风机风量：K （单位：立方米/分钟）新鲜空气中2CO 含量：%m ，开始时刻车间空气中2CO 含量：%x ，t 时刻车间空气中2CO 含量：)%(t x .2．模型建立考虑时间区间],[t t t ∆+，并利用质量守恒定律：],[t t t ∆+内车间空气中2CO 含量的“增加”等于],[t t t ∆+时间内，通入的新鲜空气中2CO 的量加上机器产生的2CO 的量减去鼓风机排出的2CO 的量，即2CO 增加量=新鲜空气中含有2CO 量+机器产生的2CO 量－排出的2CO 量 数学上表示出来就是216⎰∆+-∆+∆=-∆+tt t ds s Kx t r t Km t x t t x V )%(%)]()%([.其中0≥t . 于是令0→∆t ，取极限便得⎪⎩⎪⎨⎧=>-=.)0(,0,0x x t bx a dt dx 其中.,100VK b V r Km a =+= 3．模型求解与分析此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题. 解之得},exp{)100(100}exp{)()(00t VK K r Km x K r Km bt b a x b a t x -+-++=--+= 这就是t 时刻车间空气中含2CO 的百分比.显然，,1000x K r Km <+否则2CO 含量只能增加. 令,+∞→t 则有,100100)(lim Kr m K r Km t x t +=+=+∞→ 这说明了，车间空气中2CO 的含量最多只能降到%100K r Km +.由此可见，鼓风机风量越大（K 越大），新鲜空气中2CO 含量越低（m 越小），净化效果越好.4．模型的优缺点分析及改进方向：优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致.缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单.改进方向：（1） 考虑新鲜空气和车间内的空气的混合扩散过程重新建模；（2）若要使得车间空气中的2CO 含量达到一定的指标，确定最优的实施方案.案例6 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。